Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67624 / 67624
↖ ↑ ↗
← S  5.725312°
E  5.734863°		 ← 303.84 m → S  5.725312°
E  5.737610°		 →
↑
303.83 m
↓
↑
303.83 m
↓
S  5.728044°
E  5.734863°		 ← 303.84 m →
92 316 m²		 S  5.728044°
E  5.737610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515933990478516 y=0.515933990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515933990478516 × 217)
    floor (0.515933990478516 × 131072)
    floor (67624.5)     		tx = 67624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.515933990478516 × 217)
    floor (0.515933990478516 × 131072)
    floor (67624.5)     		ty = 67624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67624 / 67624 ti = "17/67624/67624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67624/67624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67624 ÷ 217
    67624 ÷ 131072     		x = 0.51593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67624 ÷ 217
    67624 ÷ 131072     		y = 0.51593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51593017578125 × 2 - 1) × π
    0.0318603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10009225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.0318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.100092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10009225} λ = 0.10009225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.100092246406677))-π/2
    2×atan(0.904753953885212)-π/2
    2×0.735435395667412-π/2
    1.47087079133482-1.57079632675     		φ = -0.09992554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10009225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.09992554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.725312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67624 KachelY 67624 0.10009225 -0.09992554 5.734863 -5.725312
    Oben rechts KachelX + 1 67625 KachelY 67624 0.10014018 -0.09992554 5.737610 -5.725312
    Unten links KachelX 67624 KachelY + 1 67625 0.10009225 -0.09997323 5.734863 -5.728044
    Unten rechts KachelX + 1 67625 KachelY + 1 67625 0.10014018 -0.09997323 5.737610 -5.728044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.09992554--0.09997323) × R
    4.7690000000003e-05 × 6371000     		dl = 303.832990000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.09992554--0.09997323) × R
    4.7690000000003e-05 × 6371000     		dr = 303.832990000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10009225-0.10014018) × cos(-0.09992554) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995011596115926 × 6371000     		do = 303.838760863509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10009225-0.10014018) × cos(-0.09997323) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.995006837462063 × 6371000     		du = 303.837307751306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.09992554)-sin(-0.09997323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995011596115926-0.995006837462063)×R²
    abs(0.10014018-0.10009225)×4.7586538630684e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.7586538630684e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.7586538630684e-06×40589641000000     		ar = 92316.0184568412m²