Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67647 / 67649
↖ ↑ ↗
← S  5.793629°
E  5.798035°		 ← 303.80 m → S  5.793629°
E  5.800781°		 →
↑
303.83 m
↓
↑
303.83 m
↓
S  5.796362°
E  5.798035°		 ← 303.80 m →
92 305 m²		 S  5.796362°
E  5.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516109466552734 y=0.516124725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516109466552734 × 217)
    floor (0.516109466552734 × 131072)
    floor (67647.5)     		tx = 67647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516124725341797 × 217)
    floor (0.516124725341797 × 131072)
    floor (67649.5)     		ty = 67649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67647 / 67649 ti = "17/67647/67649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67647/67649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67647 ÷ 217
    67647 ÷ 131072     		x = 0.516105651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67649 ÷ 217
    67649 ÷ 131072     		y = 0.516120910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516105651855469 × 2 - 1) × π
    0.0322113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10119480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.516120910644531 × 2 - 1) × π
    -0.0322418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.101290668897179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10119480} λ = 0.10119480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101290668897179))-π/2
    2×atan(0.903670325850304)-π/2
    2×0.734839209309765-π/2
    1.46967841861953-1.57079632675     		φ = -0.10111791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10119480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.798035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10111791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.793629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67647 KachelY 67649 0.10119480 -0.10111791 5.798035 -5.793629
    Oben rechts KachelX + 1 67648 KachelY 67649 0.10124273 -0.10111791 5.800781 -5.793629
    Unten links KachelX 67647 KachelY + 1 67650 0.10119480 -0.10116560 5.798035 -5.796362
    Unten rechts KachelX + 1 67648 KachelY + 1 67650 0.10124273 -0.10116560 5.800781 -5.796362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10111791--0.10116560) × R
    4.76899999999891e-05 × 6371000     		dl = 303.832989999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10111791--0.10116560) × R
    4.76899999999891e-05 × 6371000     		dr = 303.832989999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10119480-0.10124273) × cos(-0.10111791) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.994891938786853 × 6371000     		do = 303.802222058599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10119480-0.10124273) × cos(-0.10116560) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.994887123556057 × 6371000     		du = 303.800751669948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10111791)-sin(-0.10116560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994891938786853-0.994887123556057)×R²
    abs(0.10124273-0.10119480)×4.81523079576274e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.81523079576274e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.81523079576274e-06×40589641000000     		ar = 92304.9141379141m²