Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67656 / 67656
↖ ↑ ↗
← S  5.812757°
E  5.822754°		 ← 303.79 m → S  5.812757°
E  5.825500°		 →
↑
303.83 m
↓
↑
303.83 m
↓
S  5.815490°
E  5.822754°		 ← 303.79 m →
92 302 m²		 S  5.815490°
E  5.825500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516178131103516 y=0.516178131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516178131103516 × 217)
    floor (0.516178131103516 × 131072)
    floor (67656.5)     		tx = 67656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.516178131103516 × 217)
    floor (0.516178131103516 × 131072)
    floor (67656.5)     		ty = 67656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67656 / 67656 ti = "17/67656/67656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67656/67656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67656 ÷ 217
    67656 ÷ 131072     		x = 0.51617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67656 ÷ 217
    67656 ÷ 131072     		y = 0.51617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51617431640625 × 2 - 1) × π
    0.0323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10162623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.0323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.101626227194519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10162623} λ = 0.10162623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.101626227194519))-π/2
    2×atan(0.903367142645069)-π/2
    2×0.734672290017384-π/2
    1.46934458003477-1.57079632675     		φ = -0.10145175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10162623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10145175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -5.812757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67656 KachelY 67656 0.10162623 -0.10145175 5.822754 -5.812757
    Oben rechts KachelX + 1 67657 KachelY 67656 0.10167416 -0.10145175 5.825500 -5.812757
    Unten links KachelX 67656 KachelY + 1 67657 0.10162623 -0.10149944 5.822754 -5.815490
    Unten rechts KachelX + 1 67657 KachelY + 1 67657 0.10167416 -0.10149944 5.825500 -5.815490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10145175--0.10149944) × R
    4.7690000000003e-05 × 6371000     		dl = 303.832990000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10145175--0.10149944) × R
    4.7690000000003e-05 × 6371000     		dr = 303.832990000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10162623-0.10167416) × cos(-0.10145175) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.994858183642027 × 6371000     		do = 303.791914519052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10162623-0.10167416) × cos(-0.10149944) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.994853352572033 × 6371000     		du = 303.790439293712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10145175)-sin(-0.10149944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994858183642027-0.994853352572033)×R²
    abs(0.10167416-0.10162623)×4.83106999382699e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.83106999382699e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.83106999382699e-06×40589641000000     		ar = 92301.7816326m²