Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67840 / 63744
↖ ↑ ↗
← N  4.915833°
E  6.328125°		 ← 304.24 m → N  4.915833°
E  6.330871°		 →
↑
304.28 m
↓
↑
304.28 m
↓
N  4.913096°
E  6.328125°		 ← 304.24 m →
92 574 m²		 N  4.913096°
E  6.330871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517581939697266 y=0.486331939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517581939697266 × 217)
    floor (0.517581939697266 × 131072)
    floor (67840.5)     		tx = 67840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486331939697266 × 217)
    floor (0.486331939697266 × 131072)
    floor (63744.5)     		ty = 63744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67840 / 63744 ti = "17/67840/63744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67840/63744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67840 ÷ 217
    67840 ÷ 131072     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63744 ÷ 217
    63744 ÷ 131072     		y = 0.486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.486328125 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0859029241191406))-π/2
    2×atan(1.08970053953069)-π/2
    2×0.828296897326451-π/2
    1.6565937946529-1.57079632675     		φ = 0.08579747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08579747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.915833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67840 KachelY 63744 0.11044662 0.08579747 6.328125 4.915833
    Oben rechts KachelX + 1 67841 KachelY 63744 0.11049455 0.08579747 6.330871 4.915833
    Unten links KachelX 67840 KachelY + 1 63745 0.11044662 0.08574971 6.328125 4.913096
    Unten rechts KachelX + 1 67841 KachelY + 1 63745 0.11049455 0.08574971 6.330871 4.913096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08579747-0.08574971) × R
    4.77599999999939e-05 × 6371000     		dl = 304.278959999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08579747-0.08574971) × R
    4.77599999999939e-05 × 6371000     		dr = 304.278959999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11049455) × cos(0.08579747) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.996321654323187 × 6371000     		do = 304.238802897097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11049455) × cos(0.08574971) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.996325745848569 × 6371000     		du = 304.240052293593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08579747)-sin(0.08574971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996321654323187-0.996325745848569)×R²
    abs(0.11049455-0.11044662)×4.09152538227708e-06×R²
    4.79300000000016e-05×4.09152538227708e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.09152538227708e-06×40589641000000     		ar = 92573.6566372901m²