Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67840 / 67840
↖ ↑ ↗
← S  6.315298°
E  6.328125°		 ← 303.51 m → S  6.315298°
E  6.330871°		 →
↑
303.58 m
↓
↑
303.58 m
↓
S  6.318029°
E  6.328125°		 ← 303.51 m →
92 138 m²		 S  6.318029°
E  6.330871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517581939697266 y=0.517581939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517581939697266 × 217)
    floor (0.517581939697266 × 131072)
    floor (67840.5)     		tx = 67840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.517581939697266 × 217)
    floor (0.517581939697266 × 131072)
    floor (67840.5)     		ty = 67840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67840 / 67840 ti = "17/67840/67840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67840/67840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67840 ÷ 217
    67840 ÷ 131072     		x = 0.517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67840 ÷ 217
    67840 ÷ 131072     		y = 0.517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517578125 × 2 - 1) × π
    0.03515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11044662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.110446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11044662} λ = 0.11044662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.110446616724609))-π/2
    2×atan(0.895434130120379)-π/2
    2×0.730286787028895-π/2
    1.46057357405779-1.57079632675     		φ = -0.11022275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11044662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.11022275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.315298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67840 KachelY 67840 0.11044662 -0.11022275 6.328125 -6.315298
    Oben rechts KachelX + 1 67841 KachelY 67840 0.11049455 -0.11022275 6.330871 -6.315298
    Unten links KachelX 67840 KachelY + 1 67841 0.11044662 -0.11027040 6.328125 -6.318029
    Unten rechts KachelX + 1 67841 KachelY + 1 67841 0.11049455 -0.11027040 6.330871 -6.318029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.11022275--0.11027040) × R
    4.76500000000102e-05 × 6371000     		dl = 303.578150000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.11022275--0.11027040) × R
    4.76500000000102e-05 × 6371000     		dr = 303.578150000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11044662-0.11049455) × cos(-0.11022275) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993931620181548 × 6371000     		do = 303.508977219837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11044662-0.11049455) × cos(-0.11027040) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.993926377567386 × 6371000     		du = 303.507376324533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.11022275)-sin(-0.11027040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.993931620181548-0.993926377567386)×R²
    abs(0.11049455-0.11044662)×5.2426141623485e-06×R²
    4.79300000000016e-05×5.2426141623485e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.2426141623485e-06×40589641000000     		ar = 92138.4508318144m²