Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68097 / 68095
↖ ↑ ↗
← S  7.010942°
E  7.033997°		 ← 303.14 m → S  7.010942°
E  7.036743°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
S  7.013668°
E  7.033997°		 ← 303.14 m →
91 892 m²		 S  7.013668°
E  7.036743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519542694091797 y=0.519527435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519542694091797 × 217)
    floor (0.519542694091797 × 131072)
    floor (68097.5)     		tx = 68097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519527435302734 × 217)
    floor (0.519527435302734 × 131072)
    floor (68095.5)     		ty = 68095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68097 / 68095 ti = "17/68097/68095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68097/68095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68097 ÷ 217
    68097 ÷ 131072     		x = 0.519538879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68095 ÷ 217
    68095 ÷ 131072     		y = 0.519523620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519538879394531 × 2 - 1) × π
    0.0390777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12276640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.519523620605469 × 2 - 1) × π
    -0.0390472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.122670526127724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12276640} λ = 0.12276640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.122670526127724))-π/2
    2×atan(0.884555052333861)-π/2
    2×0.724216153575154-π/2
    1.44843230715031-1.57079632675     		φ = -0.12236402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12276640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.033997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12236402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.010942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68097 KachelY 68095 0.12276640 -0.12236402 7.033997 -7.010942
    Oben rechts KachelX + 1 68098 KachelY 68095 0.12281434 -0.12236402 7.036743 -7.010942
    Unten links KachelX 68097 KachelY + 1 68096 0.12276640 -0.12241160 7.033997 -7.013668
    Unten rechts KachelX + 1 68098 KachelY + 1 68096 0.12281434 -0.12241160 7.036743 -7.013668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12236402--0.12241160) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dl = 303.132179999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12236402--0.12241160) × R
    4.75799999999915e-05 × 6371000     		dr = 303.132179999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12276640-0.12281434) × cos(-0.12236402) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.992522859865995 × 6371000     		do = 303.142028941465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12276640-0.12281434) × cos(-0.12241160) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.992517051180543 × 6371000     		du = 303.140254819412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12236402)-sin(-0.12241160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992522859865995-0.992517051180543)×R²
    abs(0.12281434-0.12276640)×5.80868545152491e-06×R²
    4.79399999999963e-05×5.80868545152491e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.80868545152491e-06×40589641000000     		ar = 91891.8352032116m²