Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68112 / 68112
↖ ↑ ↗
← S  7.057282°
E  7.075195°		 ← 303.11 m → S  7.057282°
E  7.077942°		 →
↑
303.13 m
↓
↑
303.13 m
↓
S  7.060008°
E  7.075195°		 ← 303.11 m →
91 883 m²		 S  7.060008°
E  7.077942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519657135009766 y=0.519657135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519657135009766 × 217)
    floor (0.519657135009766 × 131072)
    floor (68112.5)     		tx = 68112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.519657135009766 × 217)
    floor (0.519657135009766 × 131072)
    floor (68112.5)     		ty = 68112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68112 / 68112 ti = "17/68112/68112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68112/68112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68112 ÷ 217
    68112 ÷ 131072     		x = 0.5196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68112 ÷ 217
    68112 ÷ 131072     		y = 0.5196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5196533203125 × 2 - 1) × π
    0.039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12348545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5196533203125 × 2 - 1) × π
    -0.039306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.123485453421265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12348545} λ = 0.12348545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.123485453421265))-π/2
    2×atan(0.883834497918681)-π/2
    2×0.723811756748076-π/2
    1.44762351349615-1.57079632675     		φ = -0.12317281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12348545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12317281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.057282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68112 KachelY 68112 0.12348545 -0.12317281 7.075195 -7.057282
    Oben rechts KachelX + 1 68113 KachelY 68112 0.12353339 -0.12317281 7.077942 -7.057282
    Unten links KachelX 68112 KachelY + 1 68113 0.12348545 -0.12322039 7.075195 -7.060008
    Unten rechts KachelX + 1 68113 KachelY + 1 68113 0.12353339 -0.12322039 7.077942 -7.060008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12317281--0.12322039) × R
    4.75800000000054e-05 × 6371000     		dl = 303.132180000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12317281--0.12322039) × R
    4.75800000000054e-05 × 6371000     		dr = 303.132180000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12348545-0.12353339) × cos(-0.12317281) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.992423815242002 × 6371000     		do = 303.111778163976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12348545-0.12353339) × cos(-0.12322039) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.992417968364075 × 6371000     		du = 303.109992376959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12317281)-sin(-0.12322039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.992423815242002-0.992417968364075)×R²
    abs(0.12353339-0.12348545)×5.84687792704042e-06×R²
    4.79400000000102e-05×5.84687792704042e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×5.84687792704042e-06×40589641000000     		ar = 91882.6634510971m²