Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68736 / 64640
↖ ↑ ↗
← N  2.460181°
E  8.789063°		 ← 305.14 m → N  2.460181°
E  8.791809°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N  2.457437°
E  8.789063°		 ← 305.14 m →
93 102 m²		 N  2.457437°
E  8.791809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524417877197266 y=0.493167877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524417877197266 × 217)
    floor (0.524417877197266 × 131072)
    floor (68736.5)     		tx = 68736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493167877197266 × 217)
    floor (0.493167877197266 × 131072)
    floor (64640.5)     		ty = 64640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68736 / 64640 ti = "17/68736/64640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68736/64640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68736 ÷ 217
    68736 ÷ 131072     		x = 0.5244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64640 ÷ 217
    64640 ÷ 131072     		y = 0.4931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4931640625 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15339808} λ = 0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0429514620595703))-π/2
    2×atan(1.04388722548496)-π/2
    2×0.806867294299045-π/2
    1.61373458859809-1.57079632675     		φ = 0.04293826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04293826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.460181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68736 KachelY 64640 0.15339808 0.04293826 8.789063 2.460181
    Oben rechts KachelX + 1 68737 KachelY 64640 0.15344602 0.04293826 8.791809 2.460181
    Unten links KachelX 68736 KachelY + 1 64641 0.15339808 0.04289037 8.789063 2.457437
    Unten rechts KachelX + 1 68737 KachelY + 1 64641 0.15344602 0.04289037 8.791809 2.457437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04293826-0.04289037) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04293826-0.04289037) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15339808-0.15344602) × cos(0.04293826) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999078294539057 × 6371000     		do = 305.144227427506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15339808-0.15344602) × cos(0.04289037) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999080349074848 × 6371000     		du = 305.14485493562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04293826)-sin(0.04289037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999078294539057-0.999080349074848)×R²
    abs(0.15344602-0.15339808)×2.05453579094073e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.05453579094073e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05453579094073e-06×40589641000000     		ar = 93101.7935215362m²