Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 69 / 68
↖ ↑ ↗
← S 11.178402°
E 14.062500°		 ← 306.803 km → S 11.178402°
E 16.875000°		 →
↑
305.230 km
↓
↑
305.230 km
↓
S 13.923404°
E 14.062500°		 ← 303.547 km →
93 166.4 km²		 S 13.923404°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54296875 y=0.53515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54296875 × 27)
    floor (0.54296875 × 128)
    floor (69.5)     		tx = 69
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53515625 × 27)
    floor (0.53515625 × 128)
    floor (68.5)     		ty = 68
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 69 / 68 ti = "7/69/68"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/69/68.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69 ÷ 27
    69 ÷ 128     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68 ÷ 27
    68 ÷ 128     		y = 0.53125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53125 × 2 - 1) × π
    -0.0625 × 3.1415926535     		Φ = -0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19634954084375))-π/2
    2×atan(0.821724958038489)-π/2
    2×0.687848204496514-π/2
    1.37569640899303-1.57079632675     		φ = -0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69 KachelY 68 0.24543693 -0.19509992 14.062500 -11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 70 KachelY 68 0.29452431 -0.19509992 16.875000 -11.178402
    Unten links KachelX 69 KachelY + 1 69 0.24543693 -0.24300924 14.062500 -13.923404
    Unten rechts KachelX + 1 70 KachelY + 1 69 0.29452431 -0.24300924 16.875000 -13.923404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19509992--0.24300924) × R
    0.04790932 × 6371000     		dl = 305230.27772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19509992--0.24300924) × R
    0.04790932 × 6371000     		dr = 305230.27772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.29452431) × cos(-0.19509992) × R
    0.04908738 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 306802.571233221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.29452431) × cos(-0.24300924) × R
    0.04908738 × 0.970618273695534 × 6371000     		du = 303546.983296315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19509992)-sin(-0.24300924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.970618273695534)×R²
    abs(0.29452431-0.24543693)×0.0104100298045093×R²
    0.04908738×0.0104100298045093×6371000²
    0.04908738×0.0104100298045093×40589641000000     		ar = 93166403126.0288m²