Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69644 / 69644
↖ ↑ ↗
← S 11.210734°
E 11.282959°		 ← 299.60 m → S 11.210734°
E 11.285706°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.213428°
E 11.282959°		 ← 299.60 m →
89 748 m²		 S 11.213428°
E 11.285706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531345367431641 y=0.531345367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531345367431641 × 217)
    floor (0.531345367431641 × 131072)
    floor (69644.5)     		tx = 69644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531345367431641 × 217)
    floor (0.531345367431641 × 131072)
    floor (69644.5)     		ty = 69644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69644 / 69644 ti = "17/69644/69644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69644/69644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69644 ÷ 217
    69644 ÷ 131072     		x = 0.531341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69644 ÷ 217
    69644 ÷ 131072     		y = 0.531341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531341552734375 × 2 - 1) × π
    0.06268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19692478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.06268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.196924783639191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19692478} λ = 0.19692478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.196924783639191))-π/2
    2×atan(0.821252402606628)-π/2
    2×0.687566055512317-π/2
    1.37513211102463-1.57079632675     		φ = -0.19566422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19692478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19566422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.210734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69644 KachelY 69644 0.19692478 -0.19566422 11.282959 -11.210734
    Oben rechts KachelX + 1 69645 KachelY 69644 0.19697272 -0.19566422 11.285706 -11.210734
    Unten links KachelX 69644 KachelY + 1 69645 0.19692478 -0.19571124 11.282959 -11.213428
    Unten rechts KachelX + 1 69645 KachelY + 1 69645 0.19697272 -0.19571124 11.285706 -11.213428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19566422--0.19571124) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19566422--0.19571124) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19692478-0.19697272) × cos(-0.19566422) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980918749537864 × 6371000     		do = 299.597834957454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19692478-0.19697272) × cos(-0.19571124) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980909606913346 × 6371000     		du = 299.595042564595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19566422)-sin(-0.19571124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980918749537864-0.980909606913346)×R²
    abs(0.19697272-0.19692478)×9.14262451789938e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.14262451789938e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.14262451789938e-06×40589641000000     		ar = 89748.4334280831m²