Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69648 / 69647
↖ ↑ ↗
← S 11.218816°
E 11.293945°		 ← 299.59 m → S 11.218816°
E 11.296692°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.221510°
E 11.293945°		 ← 299.59 m →
89 746 m²		 S 11.221510°
E 11.296692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531375885009766 y=0.531368255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531375885009766 × 217)
    floor (0.531375885009766 × 131072)
    floor (69648.5)     		tx = 69648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531368255615234 × 217)
    floor (0.531368255615234 × 131072)
    floor (69647.5)     		ty = 69647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69648 / 69647 ti = "17/69648/69647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69648/69647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69648 ÷ 217
    69648 ÷ 131072     		x = 0.5313720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69647 ÷ 217
    69647 ÷ 131072     		y = 0.531364440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5313720703125 × 2 - 1) × π
    0.062744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19711653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531364440917969 × 2 - 1) × π
    -0.0627288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.197068594338051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19711653} λ = 0.19711653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197068594338051))-π/2
    2×atan(0.821134306216634)-π/2
    2×0.687495523193069-π/2
    1.37499104638614-1.57079632675     		φ = -0.19580528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19711653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19580528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.218816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69648 KachelY 69647 0.19711653 -0.19580528 11.293945 -11.218816
    Oben rechts KachelX + 1 69649 KachelY 69647 0.19716447 -0.19580528 11.296692 -11.218816
    Unten links KachelX 69648 KachelY + 1 69648 0.19711653 -0.19585230 11.293945 -11.221510
    Unten rechts KachelX + 1 69649 KachelY + 1 69648 0.19716447 -0.19585230 11.296692 -11.221510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19580528--0.19585230) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19580528--0.19585230) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19711653-0.19716447) × cos(-0.19580528) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98089131515831 × 6371000     		do = 299.589455791777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19711653-0.19716447) × cos(-0.19585230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980882166027831 × 6371000     		du = 299.58666141183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19580528)-sin(-0.19585230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98089131515831-0.980882166027831)×R²
    abs(0.19716447-0.19711653)×9.1491304786695e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.1491304786695e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.1491304786695e-06×40589641000000     		ar = 89745.9230305403m²