Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69652 / 69652
↖ ↑ ↗
← S 11.232286°
E 11.304932°		 ← 299.58 m → S 11.232286°
E 11.307678°		 →
↑
299.56 m
↓
↑
299.56 m
↓
S 11.234980°
E 11.304932°		 ← 299.57 m →
89 742 m²		 S 11.234980°
E 11.307678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531406402587891 y=0.531406402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531406402587891 × 217)
    floor (0.531406402587891 × 131072)
    floor (69652.5)     		tx = 69652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531406402587891 × 217)
    floor (0.531406402587891 × 131072)
    floor (69652.5)     		ty = 69652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69652 / 69652 ti = "17/69652/69652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69652/69652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69652 ÷ 217
    69652 ÷ 131072     		x = 0.531402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69652 ÷ 217
    69652 ÷ 131072     		y = 0.531402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531402587890625 × 2 - 1) × π
    0.06280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19730828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.06280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.197308278836151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19730828} λ = 0.19730828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197308278836151))-π/2
    2×atan(0.820937516637224)-π/2
    2×0.687377973713694-π/2
    1.37475594742739-1.57079632675     		φ = -0.19604038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19730828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.304932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19604038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.232286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69652 KachelY 69652 0.19730828 -0.19604038 11.304932 -11.232286
    Oben rechts KachelX + 1 69653 KachelY 69652 0.19735622 -0.19604038 11.307678 -11.232286
    Unten links KachelX 69652 KachelY + 1 69653 0.19730828 -0.19608740 11.304932 -11.234980
    Unten rechts KachelX + 1 69653 KachelY + 1 69653 0.19735622 -0.19608740 11.307678 -11.234980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19604038--0.19608740) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dl = 299.564420000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19604038--0.19608740) × R
    4.70200000000087e-05 × 6371000     		dr = 299.564420000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19730828-0.19735622) × cos(-0.19604038) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980845547819987 × 6371000     		do = 299.575477268602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19730828-0.19735622) × cos(-0.19608740) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980836387846645 × 6371000     		du = 299.572679576966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19604038)-sin(-0.19608740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980845547819987-0.980836387846645)×R²
    abs(0.19735622-0.19730828)×9.15997334205443e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.15997334205443e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.15997334205443e-06×40589641000000     		ar = 89741.7350663125m²