Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69696 / 69568
↖ ↑ ↗
← S 11.005904°
E 11.425781°		 ← 299.81 m → S 11.005904°
E 11.428528°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.008600°
E 11.425781°		 ← 299.81 m →
89 869 m²		 S 11.008600°
E 11.428528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531742095947266 y=0.530765533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531742095947266 × 217)
    floor (0.531742095947266 × 131072)
    floor (69696.5)     		tx = 69696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530765533447266 × 217)
    floor (0.530765533447266 × 131072)
    floor (69568.5)     		ty = 69568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69696 / 69568 ti = "17/69696/69568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69696/69568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69696 ÷ 217
    69696 ÷ 131072     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69568 ÷ 217
    69568 ÷ 131072     		y = 0.53076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53076171875 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.193281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193281579268066))-π/2
    2×atan(0.824249849790532)-π/2
    2×0.689353528409667-π/2
    1.37870705681933-1.57079632675     		φ = -0.19208927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19208927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.005904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69696 KachelY 69568 0.19941750 -0.19208927 11.425781 -11.005904
    Oben rechts KachelX + 1 69697 KachelY 69568 0.19946544 -0.19208927 11.428528 -11.005904
    Unten links KachelX 69696 KachelY + 1 69569 0.19941750 -0.19213632 11.425781 -11.008600
    Unten rechts KachelX + 1 69697 KachelY + 1 69569 0.19946544 -0.19213632 11.428528 -11.008600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19208927--0.19213632) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dl = 299.755549999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19208927--0.19213632) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dr = 299.755549999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19946544) × cos(-0.19208927) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981607514933233 × 6371000     		do = 299.808201638021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19946544) × cos(-0.19213632) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981598531524031 × 6371000     		du = 299.805457873617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19208927)-sin(-0.19213632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981607514933233-0.981598531524031)×R²
    abs(0.19946544-0.19941750)×8.9834092021901e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.9834092021901e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.9834092021901e-06×40589641000000     		ar = 89868.761163748m²