Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69696 / 69696
↖ ↑ ↗
← S 11.350797°
E 11.425781°		 ← 299.45 m → S 11.350797°
E 11.428528°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
S 11.353489°
E 11.425781°		 ← 299.45 m →
89 647 m²		 S 11.353489°
E 11.428528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531742095947266 y=0.531742095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531742095947266 × 217)
    floor (0.531742095947266 × 131072)
    floor (69696.5)     		tx = 69696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531742095947266 × 217)
    floor (0.531742095947266 × 131072)
    floor (69696.5)     		ty = 69696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69696 / 69696 ti = "17/69696/69696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69696/69696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69696 ÷ 217
    69696 ÷ 131072     		x = 0.53173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69696 ÷ 217
    69696 ÷ 131072     		y = 0.53173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    0.0634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19941750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53173828125 × 2 - 1) × π
    -0.0634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.199417502419434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19941750} λ = 0.19941750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199417502419434))-π/2
    2×atan(0.819207800686835)-π/2
    2×0.686343775635154-π/2
    1.37268755127031-1.57079632675     		φ = -0.19810878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19941750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19810878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.350797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69696 KachelY 69696 0.19941750 -0.19810878 11.425781 -11.350797
    Oben rechts KachelX + 1 69697 KachelY 69696 0.19946544 -0.19810878 11.428528 -11.350797
    Unten links KachelX 69696 KachelY + 1 69697 0.19941750 -0.19815577 11.425781 -11.353489
    Unten rechts KachelX + 1 69697 KachelY + 1 69697 0.19946544 -0.19815577 11.428528 -11.353489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19810878--0.19815577) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19810878--0.19815577) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19941750-0.19946544) × cos(-0.19810878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980440552321094 × 6371000     		do = 299.451781218656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19941750-0.19946544) × cos(-0.19815577) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980431302880427 × 6371000     		du = 299.448956201395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19810878)-sin(-0.19815577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980440552321094-0.980431302880427)×R²
    abs(0.19946544-0.19941750)×9.2494406672694e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.2494406672694e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.2494406672694e-06×40589641000000     		ar = 89647.4420889475m²