Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69760 / 69504
↖ ↑ ↗
← S 10.833306°
E 11.601562°		 ← 299.98 m → S 10.833306°
E 11.604309°		 →
↑
299.95 m
↓
↑
299.95 m
↓
S 10.836004°
E 11.601562°		 ← 299.98 m →
89 978 m²		 S 10.836004°
E 11.604309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532230377197266 y=0.530277252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532230377197266 × 217)
    floor (0.532230377197266 × 131072)
    floor (69760.5)     		tx = 69760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530277252197266 × 217)
    floor (0.530277252197266 × 131072)
    floor (69504.5)     		ty = 69504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69760 / 69504 ti = "17/69760/69504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69760/69504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69760 ÷ 217
    69760 ÷ 131072     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69504 ÷ 217
    69504 ÷ 131072     		y = 0.5302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190213617692383))-π/2
    2×atan(0.826782499708245)-π/2
    2×0.690859734254836-π/2
    1.38171946850967-1.57079632675     		φ = -0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69760 KachelY 69504 0.20248546 -0.18907686 11.601562 -10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 69761 KachelY 69504 0.20253340 -0.18907686 11.604309 -10.833306
    Unten links KachelX 69760 KachelY + 1 69505 0.20248546 -0.18912394 11.601562 -10.836004
    Unten rechts KachelX + 1 69761 KachelY + 1 69505 0.20253340 -0.18912394 11.604309 -10.836004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18907686--0.18912394) × R
    4.70799999999771e-05 × 6371000     		dl = 299.946679999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18907686--0.18912394) × R
    4.70799999999771e-05 × 6371000     		dr = 299.946679999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20253340) × cos(-0.18907686) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 299.982491289193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20253340) × cos(-0.18912394) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982169309984807 × 6371000     		du = 299.979788307376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18907686)-sin(-0.18912394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.982169309984807)×R²
    abs(0.20253340-0.20248546)×8.84988219207461e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.84988219207461e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.84988219207461e-06×40589641000000     		ar = 89978.3469617036m²