Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69760 / 69759
↖ ↑ ↗
← S 11.520396°
E 11.601562°		 ← 299.27 m → S 11.520396°
E 11.604309°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
S 11.523088°
E 11.601562°		 ← 299.27 m →
89 556 m²		 S 11.523088°
E 11.604309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532230377197266 y=0.532222747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532230377197266 × 217)
    floor (0.532230377197266 × 131072)
    floor (69760.5)     		tx = 69760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532222747802734 × 217)
    floor (0.532222747802734 × 131072)
    floor (69759.5)     		ty = 69759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69760 / 69759 ti = "17/69760/69759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69760/69759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69760 ÷ 217
    69760 ÷ 131072     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69759 ÷ 217
    69759 ÷ 131072     		y = 0.532218933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532218933105469 × 2 - 1) × π
    -0.0644378662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.202437527095497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.202437527095497))-π/2
    2×atan(0.816737504968488)-π/2
    2×0.68486374036625-π/2
    1.3697274807325-1.57079632675     		φ = -0.20106885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20106885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.520396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69760 KachelY 69759 0.20248546 -0.20106885 11.601562 -11.520396
    Oben rechts KachelX + 1 69761 KachelY 69759 0.20253340 -0.20106885 11.604309 -11.520396
    Unten links KachelX 69760 KachelY + 1 69760 0.20248546 -0.20111582 11.601562 -11.523088
    Unten rechts KachelX + 1 69761 KachelY + 1 69760 0.20253340 -0.20111582 11.604309 -11.523088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20106885--0.20111582) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dl = 299.245870000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20106885--0.20111582) × R
    4.69700000000073e-05 × 6371000     		dr = 299.245870000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20253340) × cos(-0.20106885) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979853670333718 × 6371000     		do = 299.272532353369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20253340) × cos(-0.20111582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979844288556578 × 6371000     		du = 299.269666917143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20106885)-sin(-0.20111582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979853670333718-0.979844288556578)×R²
    abs(0.20253340-0.20248546)×9.38177714071564e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.38177714071564e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.38177714071564e-06×40589641000000     		ar = 89555.6405926968m²