Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69761 / 69761
↖ ↑ ↗
← S 11.525779°
E 11.604309°		 ← 299.27 m → S 11.525779°
E 11.607056°		 →
↑
299.25 m
↓
↑
299.25 m
↓
S 11.528470°
E 11.604309°		 ← 299.26 m →
89 554 m²		 S 11.528470°
E 11.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532238006591797 y=0.532238006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532238006591797 × 217)
    floor (0.532238006591797 × 131072)
    floor (69761.5)     		tx = 69761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532238006591797 × 217)
    floor (0.532238006591797 × 131072)
    floor (69761.5)     		ty = 69761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69761 / 69761 ti = "17/69761/69761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69761/69761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69761 ÷ 217
    69761 ÷ 131072     		x = 0.532234191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69761 ÷ 217
    69761 ÷ 131072     		y = 0.532234191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532234191894531 × 2 - 1) × π
    0.0644683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20253340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532234191894531 × 2 - 1) × π
    -0.0644683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.202533400894737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20253340} λ = 0.20253340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.202533400894737))-π/2
    2×atan(0.816659204994423)-π/2
    2×0.684816769668933-π/2
    1.36963353933787-1.57079632675     		φ = -0.20116279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20253340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.604309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20116279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.525779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69761 KachelY 69761 0.20253340 -0.20116279 11.604309 -11.525779
    Oben rechts KachelX + 1 69762 KachelY 69761 0.20258134 -0.20116279 11.607056 -11.525779
    Unten links KachelX 69761 KachelY + 1 69762 0.20253340 -0.20120976 11.604309 -11.528470
    Unten rechts KachelX + 1 69762 KachelY + 1 69762 0.20258134 -0.20120976 11.607056 -11.528470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20116279--0.20120976) × R
    4.69699999999795e-05 × 6371000     		dl = 299.24586999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20116279--0.20120976) × R
    4.69699999999795e-05 × 6371000     		dr = 299.24586999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20253340-0.20258134) × cos(-0.20116279) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979834904617723 × 6371000     		do = 299.266800820674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20253340-0.20258134) × cos(-0.20120976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979825518517175 × 6371000     		du = 299.263934063969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20116279)-sin(-0.20120976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979834904617723-0.979825518517175)×R²
    abs(0.20258134-0.20253340)×9.38610054757039e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.38610054757039e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.38610054757039e-06×40589641000000     		ar = 89553.9252575873m²