Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69768 / 69768
↖ ↑ ↗
← S 11.544617°
E 11.623535°		 ← 299.25 m → S 11.544617°
E 11.626282°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
S 11.547307°
E 11.623535°		 ← 299.24 m →
89 529 m²		 S 11.547307°
E 11.626282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532291412353516 y=0.532291412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532291412353516 × 217)
    floor (0.532291412353516 × 131072)
    floor (69768.5)     		tx = 69768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532291412353516 × 217)
    floor (0.532291412353516 × 131072)
    floor (69768.5)     		ty = 69768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69768 / 69768 ti = "17/69768/69768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69768/69768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69768 ÷ 217
    69768 ÷ 131072     		x = 0.53228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69768 ÷ 217
    69768 ÷ 131072     		y = 0.53228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53228759765625 × 2 - 1) × π
    0.0645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20286896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.0645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.202868959192078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20286896} λ = 0.20286896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.202868959192078))-π/2
    2×atan(0.816385214194602)-π/2
    2×0.684652379316719-π/2
    1.36930475863344-1.57079632675     		φ = -0.20149157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20286896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20149157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.544617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69768 KachelY 69768 0.20286896 -0.20149157 11.623535 -11.544617
    Oben rechts KachelX + 1 69769 KachelY 69768 0.20291690 -0.20149157 11.626282 -11.544617
    Unten links KachelX 69768 KachelY + 1 69769 0.20286896 -0.20153853 11.623535 -11.547307
    Unten rechts KachelX + 1 69769 KachelY + 1 69769 0.20291690 -0.20153853 11.626282 -11.547307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20149157--0.20153853) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dl = 299.182159999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20149157--0.20153853) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dr = 299.182159999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20286896-0.20291690) × cos(-0.20149157) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979769158520805 × 6371000     		do = 299.246720270545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20286896-0.20291690) × cos(-0.20153853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.979759759291216 × 6371000     		du = 299.243849503892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20149157)-sin(-0.20153853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979769158520805-0.979759759291216)×R²
    abs(0.20291690-0.20286896)×9.39922958909101e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.39922958909101e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.39922958909101e-06×40589641000000     		ar = 89528.8507188257m²