Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69776 / 69776
↖ ↑ ↗
← S 11.566144°
E 11.645508°		 ← 299.22 m → S 11.566144°
E 11.648254°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
S 11.568834°
E 11.645508°		 ← 299.22 m →
89 522 m²		 S 11.568834°
E 11.648254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532352447509766 y=0.532352447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532352447509766 × 217)
    floor (0.532352447509766 × 131072)
    floor (69776.5)     		tx = 69776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532352447509766 × 217)
    floor (0.532352447509766 × 131072)
    floor (69776.5)     		ty = 69776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69776 / 69776 ti = "17/69776/69776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69776/69776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69776 ÷ 217
    69776 ÷ 131072     		x = 0.5323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69776 ÷ 217
    69776 ÷ 131072     		y = 0.5323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5323486328125 × 2 - 1) × π
    0.064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20325245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.203252454389038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20325245} λ = 0.20325245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.203252454389038))-π/2
    2×atan(0.816072194410717)-π/2
    2×0.684464518147052-π/2
    1.3689290362941-1.57079632675     		φ = -0.20186729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20325245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20186729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.566144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69776 KachelY 69776 0.20325245 -0.20186729 11.645508 -11.566144
    Oben rechts KachelX + 1 69777 KachelY 69776 0.20330039 -0.20186729 11.648254 -11.566144
    Unten links KachelX 69776 KachelY + 1 69777 0.20325245 -0.20191425 11.645508 -11.568834
    Unten rechts KachelX + 1 69777 KachelY + 1 69777 0.20330039 -0.20191425 11.648254 -11.568834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20186729--0.20191425) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dl = 299.182159999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20186729--0.20191425) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dr = 299.182159999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20325245-0.20330039) × cos(-0.20186729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979693896168297 × 6371000     		do = 299.223733210662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20325245-0.20330039) × cos(-0.20191425) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979684479652593 × 6371000     		du = 299.220857164385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20186729)-sin(-0.20191425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979693896168297-0.979684479652593)×R²
    abs(0.20330039-0.20325245)×9.41651570440794e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.41651570440794e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.41651570440794e-06×40589641000000     		ar = 89521.9726108044m²