Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69888 / 69888
↖ ↑ ↗
← S 11.867351°
E 11.953125°		 ← 298.84 m → S 11.867351°
E 11.955871°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
S 11.870039°
E 11.953125°		 ← 298.83 m →
89 311 m²		 S 11.870039°
E 11.955871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533206939697266 y=0.533206939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533206939697266 × 217)
    floor (0.533206939697266 × 131072)
    floor (69888.5)     		tx = 69888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533206939697266 × 217)
    floor (0.533206939697266 × 131072)
    floor (69888.5)     		ty = 69888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69888 / 69888 ti = "17/69888/69888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69888/69888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69888 ÷ 217
    69888 ÷ 131072     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69888 ÷ 217
    69888 ÷ 131072     		y = 0.533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533203125 × 2 - 1) × π
    -0.06640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.208621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208621387146484))-π/2
    2×atan(0.811702498472065)-π/2
    2×0.681835989953108-π/2
    1.36367197990622-1.57079632675     		φ = -0.20712435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20712435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.867351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69888 KachelY 69888 0.20862139 -0.20712435 11.953125 -11.867351
    Oben rechts KachelX + 1 69889 KachelY 69888 0.20866932 -0.20712435 11.955871 -11.867351
    Unten links KachelX 69888 KachelY + 1 69889 0.20862139 -0.20717126 11.953125 -11.870039
    Unten rechts KachelX + 1 69889 KachelY + 1 69889 0.20866932 -0.20717126 11.955871 -11.870039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20712435--0.20717126) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dl = 298.863609999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20712435--0.20717126) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dr = 298.863609999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.20866932) × cos(-0.20712435) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978626327765447 × 6371000     		do = 298.835322057912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.20866932) × cos(-0.20717126) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978616679808226 × 6371000     		du = 298.83237593811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20712435)-sin(-0.20717126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978626327765447-0.978616679808226)×R²
    abs(0.20866932-0.20862139)×9.64795722124823e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.64795722124823e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.64795722124823e-06×40589641000000     		ar = 89310.5629181112m²