Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69888 / 69889
↖ ↑ ↗
← S 11.870039°
E 11.953125°		 ← 298.83 m → S 11.870039°
E 11.955871°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
S 11.872727°
E 11.953125°		 ← 298.83 m →
89 310 m²		 S 11.872727°
E 11.955871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533206939697266 y=0.533214569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533206939697266 × 217)
    floor (0.533206939697266 × 131072)
    floor (69888.5)     		tx = 69888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533214569091797 × 217)
    floor (0.533214569091797 × 131072)
    floor (69889.5)     		ty = 69889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69888 / 69889 ti = "17/69888/69889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69888/69889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69888 ÷ 217
    69888 ÷ 131072     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69889 ÷ 217
    69889 ÷ 131072     		y = 0.533210754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533210754394531 × 2 - 1) × π
    -0.0664215087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.208669324046104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208669324046104))-π/2
    2×atan(0.811663588903484)-π/2
    2×0.681812533912698-π/2
    1.3636250678254-1.57079632675     		φ = -0.20717126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20717126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.870039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69888 KachelY 69889 0.20862139 -0.20717126 11.953125 -11.870039
    Oben rechts KachelX + 1 69889 KachelY 69889 0.20866932 -0.20717126 11.955871 -11.870039
    Unten links KachelX 69888 KachelY + 1 69890 0.20862139 -0.20721817 11.953125 -11.872727
    Unten rechts KachelX + 1 69889 KachelY + 1 69890 0.20866932 -0.20721817 11.955871 -11.872727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20717126--0.20721817) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dl = 298.863610000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20717126--0.20721817) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dr = 298.863610000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.20866932) × cos(-0.20717126) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978616679808226 × 6371000     		do = 298.83237593811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.20866932) × cos(-0.20721817) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978607029697511 × 6371000     		du = 298.829429160712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20717126)-sin(-0.20721817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978616679808226-0.978607029697511)×R²
    abs(0.20866932-0.20862139)×9.6501107144098e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.6501107144098e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.6501107144098e-06×40589641000000     		ar = 89309.6823318555m²