Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69888 / 70400
↖ ↑ ↗
← S 13.239945°
E 11.953125°		 ← 297.25 m → S 13.239945°
E 11.955871°		 →
↑
297.27 m
↓
↑
297.27 m
↓
S 13.242619°
E 11.953125°		 ← 297.24 m →
88 362 m²		 S 13.242619°
E 11.955871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533206939697266 y=0.537113189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533206939697266 × 217)
    floor (0.533206939697266 × 131072)
    floor (69888.5)     		tx = 69888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.537113189697266 × 217)
    floor (0.537113189697266 × 131072)
    floor (70400.5)     		ty = 70400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69888 / 70400 ti = "17/69888/70400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69888/70400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69888 ÷ 217
    69888 ÷ 131072     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70400 ÷ 217
    70400 ÷ 131072     		y = 0.537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.537109375 × 2 - 1) × π
    -0.07421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.233165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.233165079751953))-π/2
    2×atan(0.792022815801911)-π/2
    2×0.669857842527117-π/2
    1.33971568505423-1.57079632675     		φ = -0.23108064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.23108064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.239945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69888 KachelY 70400 0.20862139 -0.23108064 11.953125 -13.239945
    Oben rechts KachelX + 1 69889 KachelY 70400 0.20866932 -0.23108064 11.955871 -13.239945
    Unten links KachelX 69888 KachelY + 1 70401 0.20862139 -0.23112730 11.953125 -13.242619
    Unten rechts KachelX + 1 69889 KachelY + 1 70401 0.20866932 -0.23112730 11.955871 -13.242619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.23108064--0.23112730) × R
    4.66600000000039e-05 × 6371000     		dl = 297.270860000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.23108064--0.23112730) × R
    4.66600000000039e-05 × 6371000     		dr = 297.270860000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.20866932) × cos(-0.23108064) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.973419464906907 × 6371000     		do = 297.245343845497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.20866932) × cos(-0.23112730) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.973408777327389 × 6371000     		du = 297.242080264519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.23108064)-sin(-0.23112730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973419464906907-0.973408777327389)×R²
    abs(0.20866932-0.20862139)×1.06875795182759e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.06875795182759e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.06875795182759e-05×40589641000000     		ar = 88361.8939282307m²