Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69890 / 69890
↖ ↑ ↗
← S 11.872727°
E 11.958618°		 ← 298.89 m → S 11.872727°
E 11.961365°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
S 11.875414°
E 11.958618°		 ← 298.89 m →
89 327 m²		 S 11.875414°
E 11.961365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533222198486328 y=0.533222198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533222198486328 × 217)
    floor (0.533222198486328 × 131072)
    floor (69890.5)     		tx = 69890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533222198486328 × 217)
    floor (0.533222198486328 × 131072)
    floor (69890.5)     		ty = 69890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69890 / 69890 ti = "17/69890/69890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69890/69890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69890 ÷ 217
    69890 ÷ 131072     		x = 0.533218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69890 ÷ 217
    69890 ÷ 131072     		y = 0.533218383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533218383789062 × 2 - 1) × π
    0.066436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20871726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.066436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.208717260945724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20871726} λ = 0.20871726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.208717260945724))-π/2
    2×atan(0.811624681200062)-π/2
    2×0.681789078103568-π/2
    1.36357815620714-1.57079632675     		φ = -0.20721817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20871726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.958618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20721817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.872727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69890 KachelY 69890 0.20871726 -0.20721817 11.958618 -11.872727
    Oben rechts KachelX + 1 69891 KachelY 69890 0.20876520 -0.20721817 11.961365 -11.872727
    Unten links KachelX 69890 KachelY + 1 69891 0.20871726 -0.20726508 11.958618 -11.875414
    Unten rechts KachelX + 1 69891 KachelY + 1 69891 0.20876520 -0.20726508 11.961365 -11.875414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20721817--0.20726508) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dl = 298.863609999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20721817--0.20726508) × R
    4.69099999999834e-05 × 6371000     		dr = 298.863609999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20871726-0.20876520) × cos(-0.20721817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978607029697511 × 6371000     		do = 298.891776214715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20871726-0.20876520) × cos(-0.20726508) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978597377433325 × 6371000     		du = 298.888828164783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20721817)-sin(-0.20726508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978607029697511-0.978597377433325)×R²
    abs(0.20876520-0.20871726)×9.65226418625509e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.65226418625509e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.65226418625509e-06×40589641000000     		ar = 89327.4347227921m²