Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 70 / 62
↖ ↑ ↗
← N  5.615986°
E 16.875000°		 ← 311.235 km → N  5.615986°
E 19.687500°		 →
↑
311.859 km
↓
↑
311.859 km
↓
N  2.811371°
E 16.875000°		 ← 312.359 km →
97 256.1 km²		 N  2.811371°
E 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55078125 y=0.48828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55078125 × 27)
    floor (0.55078125 × 128)
    floor (70.5)     		tx = 70
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.48828125 × 27)
    floor (0.48828125 × 128)
    floor (62.5)     		ty = 62
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 70 / 62 ti = "7/70/62"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/70/62.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70 ÷ 27
    70 ÷ 128     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62 ÷ 27
    62 ÷ 128     		y = 0.484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.484375 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Φ = 0.098174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.098174770421875))-π/2
    2×atan(1.10315556722559)-π/2
    2×0.834406885040838-π/2
    1.66881377008168-1.57079632675     		φ = 0.09801744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09801744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.615986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70 KachelY 62 0.29452431 0.09801744 16.875000 5.615986
    Oben rechts KachelX + 1 71 KachelY 62 0.34361170 0.09801744 19.687500 5.615986
    Unten links KachelX 70 KachelY + 1 63 0.29452431 0.04906768 16.875000 2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 71 KachelY + 1 63 0.34361170 0.04906768 19.687500 2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09801744-0.04906768) × R
    0.04894976 × 6371000     		dl = 311858.92096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09801744-0.04906768) × R
    0.04894976 × 6371000     		dr = 311858.92096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.34361170) × cos(0.09801744) × R
    0.04908739 × 0.995200135433612 × 6371000     		do = 311234.672388822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.34361170) × cos(0.04906768) × R
    0.04908739 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 312359.360088942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09801744)-sin(0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995200135433612-0.9987964229002)×R²
    abs(0.34361170-0.29452431)×0.00359628746658824×R²
    0.04908739×0.00359628746658824×6371000²
    0.04908739×0.00359628746658824×40589641000000     		ar = 97256101260.2119m²