Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70145 / 70145
↖ ↑ ↗
← S 12.557244°
E 12.658997°		 ← 298.12 m → S 12.557244°
E 12.661743°		 →
↑
298.10 m
↓
↑
298.10 m
↓
S 12.559925°
E 12.658997°		 ← 298.12 m →
88 869 m²		 S 12.559925°
E 12.661743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535167694091797 y=0.535167694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535167694091797 × 217)
    floor (0.535167694091797 × 131072)
    floor (70145.5)     		tx = 70145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.535167694091797 × 217)
    floor (0.535167694091797 × 131072)
    floor (70145.5)     		ty = 70145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70145 / 70145 ti = "17/70145/70145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70145/70145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70145 ÷ 217
    70145 ÷ 131072     		x = 0.535163879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70145 ÷ 217
    70145 ÷ 131072     		y = 0.535163879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535163879394531 × 2 - 1) × π
    0.0703277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22094117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.535163879394531 × 2 - 1) × π
    -0.0703277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.220941170348839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22094117} λ = 0.22094117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.220941170348839))-π/2
    2×atan(0.801763846390196)-π/2
    2×0.675815533309149-π/2
    1.3516310666183-1.57079632675     		φ = -0.21916526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22094117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.658997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21916526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.557244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70145 KachelY 70145 0.22094117 -0.21916526 12.658997 -12.557244
    Oben rechts KachelX + 1 70146 KachelY 70145 0.22098911 -0.21916526 12.661743 -12.557244
    Unten links KachelX 70145 KachelY + 1 70146 0.22094117 -0.21921205 12.658997 -12.559925
    Unten rechts KachelX + 1 70146 KachelY + 1 70146 0.22098911 -0.21921205 12.661743 -12.559925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21916526--0.21921205) × R
    4.6789999999991e-05 × 6371000     		dl = 298.099089999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21916526--0.21921205) × R
    4.6789999999991e-05 × 6371000     		dr = 298.099089999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22094117-0.22098911) × cos(-0.21916526) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.976079274306825 × 6371000     		do = 298.119734653802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22094117-0.22098911) × cos(-0.21921205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.976069100393951 × 6371000     		du = 298.116627278934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21916526)-sin(-0.21921205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976079274306825-0.976069100393951)×R²
    abs(0.22098911-0.22094117)×1.01739128748335e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.01739128748335e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.01739128748335e-05×40589641000000     		ar = 88868.7584747128m²