Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70146 / 70146
↖ ↑ ↗
← S 12.559925°
E 12.661743°		 ← 298.05 m → S 12.559925°
E 12.664490°		 →
↑
298.10 m
↓
↑
298.10 m
↓
S 12.562606°
E 12.661743°		 ← 298.05 m →
88 849 m²		 S 12.562606°
E 12.664490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535175323486328 y=0.535175323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535175323486328 × 217)
    floor (0.535175323486328 × 131072)
    floor (70146.5)     		tx = 70146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.535175323486328 × 217)
    floor (0.535175323486328 × 131072)
    floor (70146.5)     		ty = 70146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70146 / 70146 ti = "17/70146/70146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70146/70146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70146 ÷ 217
    70146 ÷ 131072     		x = 0.535171508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70146 ÷ 217
    70146 ÷ 131072     		y = 0.535171508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535171508789062 × 2 - 1) × π
    0.070343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22098911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.535171508789062 × 2 - 1) × π
    -0.070343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.220989107248459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22098911} λ = 0.22098911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.220989107248459))-π/2
    2×atan(0.801725413238363)-π/2
    2×0.675792138323976-π/2
    1.35158427664795-1.57079632675     		φ = -0.21921205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22098911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.661743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21921205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.559925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70146 KachelY 70146 0.22098911 -0.21921205 12.661743 -12.559925
    Oben rechts KachelX + 1 70147 KachelY 70146 0.22103704 -0.21921205 12.664490 -12.559925
    Unten links KachelX 70146 KachelY + 1 70147 0.22098911 -0.21925884 12.661743 -12.562606
    Unten rechts KachelX + 1 70147 KachelY + 1 70147 0.22103704 -0.21925884 12.664490 -12.562606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21921205--0.21925884) × R
    4.67900000000188e-05 × 6371000     		dl = 298.09909000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21921205--0.21925884) × R
    4.67900000000188e-05 × 6371000     		dr = 298.09909000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22098911-0.22103704) × cos(-0.21921205) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.976069100393951 × 6371000     		do = 298.05444191658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22098911-0.22103704) × cos(-0.21925884) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.976058924344164 × 6371000     		du = 298.05133453736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21921205)-sin(-0.21925884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976069100393951-0.976058924344164)×R²
    abs(0.22103704-0.22098911)×1.01760497868142e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.01760497868142e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.01760497868142e-05×40589641000000     		ar = 88849.2947685896m²