Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70160 / 70160
↖ ↑ ↗
← S 12.597455°
E 12.700195°		 ← 298.07 m → S 12.597455°
E 12.702942°		 →
↑
298.04 m
↓
↑
298.04 m
↓
S 12.600135°
E 12.700195°		 ← 298.07 m →
88 836 m²		 S 12.600135°
E 12.702942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535282135009766 y=0.535282135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535282135009766 × 217)
    floor (0.535282135009766 × 131072)
    floor (70160.5)     		tx = 70160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.535282135009766 × 217)
    floor (0.535282135009766 × 131072)
    floor (70160.5)     		ty = 70160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70160 / 70160 ti = "17/70160/70160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70160/70160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70160 ÷ 217
    70160 ÷ 131072     		x = 0.5352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70160 ÷ 217
    70160 ÷ 131072     		y = 0.5352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5352783203125 × 2 - 1) × π
    0.070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22166022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.22166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22166022} λ = 0.22166022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.22166022384314))-π/2
    2×atan(0.801187542516333)-π/2
    2×0.675464634160785-π/2
    1.35092926832157-1.57079632675     		φ = -0.21986706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22166022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21986706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.597455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70160 KachelY 70160 0.22166022 -0.21986706 12.700195 -12.597455
    Oben rechts KachelX + 1 70161 KachelY 70160 0.22170816 -0.21986706 12.702942 -12.597455
    Unten links KachelX 70160 KachelY + 1 70161 0.22166022 -0.21991384 12.700195 -12.600135
    Unten rechts KachelX + 1 70161 KachelY + 1 70161 0.22170816 -0.21991384 12.702942 -12.600135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21986706--0.21991384) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dl = 298.035379999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21986706--0.21991384) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dr = 298.035379999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22166022-0.22170816) × cos(-0.21986706) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.975926452153073 × 6371000     		do = 298.073058834404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22166022-0.22170816) × cos(-0.21991384) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.975916248372597 × 6371000     		du = 298.069942337201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21986706)-sin(-0.21991384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975926452153073-0.975916248372597)×R²
    abs(0.22170816-0.22166022)×1.02037804761146e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.02037804761146e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.02037804761146e-05×40589641000000     		ar = 88835.8529604816m²