Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70272 / 70272
↖ ↑ ↗
← S 12.897489°
E 13.007813°		 ← 297.66 m → S 12.897489°
E 13.010559°		 →
↑
297.72 m
↓
↑
297.72 m
↓
S 12.900167°
E 13.007813°		 ← 297.65 m →
88 617 m²		 S 12.900167°
E 13.010559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.536136627197266 y=0.536136627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.536136627197266 × 217)
    floor (0.536136627197266 × 131072)
    floor (70272.5)     		tx = 70272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.536136627197266 × 217)
    floor (0.536136627197266 × 131072)
    floor (70272.5)     		ty = 70272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70272 / 70272 ti = "17/70272/70272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70272/70272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70272 ÷ 217
    70272 ÷ 131072     		x = 0.5361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70272 ÷ 217
    70272 ÷ 131072     		y = 0.5361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5361328125 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.227029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22702916} λ = 0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.227029156600586))-π/2
    2×atan(0.796897547127923)-π/2
    2×0.672846337652163-π/2
    1.34569267530433-1.57079632675     		φ = -0.22510365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.22510365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.897489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70272 KachelY 70272 0.22702916 -0.22510365 13.007813 -12.897489
    Oben rechts KachelX + 1 70273 KachelY 70272 0.22707709 -0.22510365 13.010559 -12.897489
    Unten links KachelX 70272 KachelY + 1 70273 0.22702916 -0.22515038 13.007813 -12.900167
    Unten rechts KachelX + 1 70273 KachelY + 1 70273 0.22707709 -0.22515038 13.010559 -12.900167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.22510365--0.22515038) × R
    4.67300000000226e-05 × 6371000     		dl = 297.716830000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.22510365--0.22515038) × R
    4.67300000000226e-05 × 6371000     		dr = 297.716830000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22702916-0.22707709) × cos(-0.22510365) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.974770976858286 × 6371000     		do = 297.658044278539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22702916-0.22707709) × cos(-0.22515038) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.974760545312265 × 6371000     		du = 297.65485888047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.22510365)-sin(-0.22515038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974770976858286-0.974760545312265)×R²
    abs(0.22707709-0.22702916)×1.04315460209836e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.04315460209836e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.04315460209836e-05×40589641000000     		ar = 88617.3352094656m²