Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70657 / 70657
↖ ↑ ↗
← S 13.926070°
E 14.065246°		 ← 296.45 m → S 13.926070°
E 14.067993°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
S 13.928736°
E 14.065246°		 ← 296.44 m →
87 879 m²		 S 13.928736°
E 14.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539073944091797 y=0.539073944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539073944091797 × 217)
    floor (0.539073944091797 × 131072)
    floor (70657.5)     		tx = 70657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.539073944091797 × 217)
    floor (0.539073944091797 × 131072)
    floor (70657.5)     		ty = 70657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70657 / 70657 ti = "17/70657/70657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70657/70657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70657 ÷ 217
    70657 ÷ 131072     		x = 0.539070129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70657 ÷ 217
    70657 ÷ 131072     		y = 0.539070129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539070129394531 × 2 - 1) × π
    0.0781402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24548486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.539070129394531 × 2 - 1) × π
    -0.0781402587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.245484862954308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24548486} λ = 0.24548486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.245484862954308))-π/2
    2×atan(0.782325125796059)-π/2
    2×0.663870278769521-π/2
    1.32774055753904-1.57079632675     		φ = -0.24305577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24548486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.065246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24305577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -13.926070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70657 KachelY 70657 0.24548486 -0.24305577 14.065246 -13.926070
    Oben rechts KachelX + 1 70658 KachelY 70657 0.24553280 -0.24305577 14.067993 -13.926070
    Unten links KachelX 70657 KachelY + 1 70658 0.24548486 -0.24310230 14.065246 -13.928736
    Unten rechts KachelX + 1 70658 KachelY + 1 70658 0.24553280 -0.24310230 14.067993 -13.928736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24305577--0.24310230) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dl = 296.44262999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24305577--0.24310230) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dr = 296.44262999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24548486-0.24553280) × cos(-0.24305577) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.970607076385217 × 6371000     		do = 296.448384554169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24548486-0.24553280) × cos(-0.24310230) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.970595876973497 × 6371000     		du = 296.444963965556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24305577)-sin(-0.24310230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970607076385217-0.970595876973497)×R²
    abs(0.24553280-0.24548486)×1.11994117203418e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.11994117203418e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.11994117203418e-05×40589641000000     		ar = 87879.4317881448m²