Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 70720 / 70720
↖ ↑ ↗
← S 14.093957°
E 14.238281°		 ← 296.17 m → S 14.093957°
E 14.241028°		 →
↑
296.19 m
↓
↑
296.19 m
↓
S 14.096621°
E 14.238281°		 ← 296.17 m →
87 721 m²		 S 14.096621°
E 14.241028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539554595947266 y=0.539554595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539554595947266 × 217)
    floor (0.539554595947266 × 131072)
    floor (70720.5)     		tx = 70720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.539554595947266 × 217)
    floor (0.539554595947266 × 131072)
    floor (70720.5)     		ty = 70720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70720 / 70720 ti = "17/70720/70720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70720/70720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70720 ÷ 217
    70720 ÷ 131072     		x = 0.53955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70720 ÷ 217
    70720 ÷ 131072     		y = 0.53955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.248504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24850489} λ = 0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.248504887630371))-π/2
    2×atan(0.779966048640069)-π/2
    2×0.662405184706728-π/2
    1.32481036941346-1.57079632675     		φ = -0.24598596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24598596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -14.093957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70720 KachelY 70720 0.24850489 -0.24598596 14.238281 -14.093957
    Oben rechts KachelX + 1 70721 KachelY 70720 0.24855282 -0.24598596 14.241028 -14.093957
    Unten links KachelX 70720 KachelY + 1 70721 0.24850489 -0.24603245 14.238281 -14.096621
    Unten rechts KachelX + 1 70721 KachelY + 1 70721 0.24855282 -0.24603245 14.241028 -14.096621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24598596--0.24603245) × R
    4.64900000000101e-05 × 6371000     		dl = 296.187790000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24598596--0.24603245) × R
    4.64900000000101e-05 × 6371000     		dr = 296.187790000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24850489-0.24855282) × cos(-0.24598596) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.96989770263388 × 6371000     		do = 296.169931368628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24850489-0.24855282) × cos(-0.24603245) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.969886380679247 × 6371000     		du = 296.166474073577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24598596)-sin(-0.24603245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96989770263388-0.969886380679247)×R²
    abs(0.24855282-0.24850489)×1.13219546333809e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.13219546333809e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.13219546333809e-05×40589641000000     		ar = 87721.4054480773m²