Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70784 / 70784
↖ ↑ ↗
← S 14.264383°
E 14.414063°		 ← 296.01 m → S 14.264383°
E 14.416809°		 →
↑
296 m
↓
↑
296 m
↓
S 14.267045°
E 14.414063°		 ← 296.01 m →
87 617 m²		 S 14.267045°
E 14.416809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540042877197266 y=0.540042877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540042877197266 × 217)
    floor (0.540042877197266 × 131072)
    floor (70784.5)     		tx = 70784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.540042877197266 × 217)
    floor (0.540042877197266 × 131072)
    floor (70784.5)     		ty = 70784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70784 / 70784 ti = "17/70784/70784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70784/70784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70784 ÷ 217
    70784 ÷ 131072     		x = 0.5400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70784 ÷ 217
    70784 ÷ 131072     		y = 0.5400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5400390625 × 2 - 1) × π
    0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5400390625 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.251572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25157285} λ = 0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.251572849206055))-π/2
    2×atan(0.777576809693182)-π/2
    2×0.660917938079051-π/2
    1.3218358761581-1.57079632675     		φ = -0.24896045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.24896045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -14.264383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70784 KachelY 70784 0.25157285 -0.24896045 14.414063 -14.264383
    Oben rechts KachelX + 1 70785 KachelY 70784 0.25162079 -0.24896045 14.416809 -14.264383
    Unten links KachelX 70784 KachelY + 1 70785 0.25157285 -0.24900691 14.414063 -14.267045
    Unten rechts KachelX + 1 70785 KachelY + 1 70785 0.25162079 -0.24900691 14.416809 -14.267045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.24896045--0.24900691) × R
    4.64599999999982e-05 × 6371000     		dl = 295.996659999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.24896045--0.24900691) × R
    4.64599999999982e-05 × 6371000     		dr = 295.996659999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25157285-0.25162079) × cos(-0.24896045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969169086915728 × 6371000     		do = 296.009185556166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25157285-0.25162079) × cos(-0.24900691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.969157638284037 × 6371000     		du = 296.00568884936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.24896045)-sin(-0.24900691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969169086915728-0.969157638284037)×R²
    abs(0.25162079-0.25157285)×1.14486316906692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14486316906692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14486316906692e-05×40589641000000     		ar = 87617.21276295m²