Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71744 / 71744
↖ ↑ ↗
← S 16.804541°
E 17.050781°		 ← 292.38 m → S 16.804541°
E 17.053528°		 →
↑
292.37 m
↓
↑
292.37 m
↓
S 16.807170°
E 17.050781°		 ← 292.38 m →
85 482 m²		 S 16.807170°
E 17.053528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547367095947266 y=0.547367095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547367095947266 × 217)
    floor (0.547367095947266 × 131072)
    floor (71744.5)     		tx = 71744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547367095947266 × 217)
    floor (0.547367095947266 × 131072)
    floor (71744.5)     		ty = 71744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71744 / 71744 ti = "17/71744/71744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71744/71744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71744 ÷ 217
    71744 ÷ 131072     		x = 0.54736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71744 ÷ 217
    71744 ÷ 131072     		y = 0.54736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    0.0947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29759227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54736328125 × 2 - 1) × π
    -0.0947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.297592272841309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29759227} λ = 0.29759227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.297592272841309))-π/2
    2×atan(0.742604057872929)-π/2
    2×0.638750877866758-π/2
    1.27750175573352-1.57079632675     		φ = -0.29329457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29759227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.050781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29329457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.804541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71744 KachelY 71744 0.29759227 -0.29329457 17.050781 -16.804541
    Oben rechts KachelX + 1 71745 KachelY 71744 0.29764021 -0.29329457 17.053528 -16.804541
    Unten links KachelX 71744 KachelY + 1 71745 0.29759227 -0.29334046 17.050781 -16.807170
    Unten rechts KachelX + 1 71745 KachelY + 1 71745 0.29764021 -0.29334046 17.053528 -16.807170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29329457--0.29334046) × R
    4.58900000000484e-05 × 6371000     		dl = 292.365190000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29329457--0.29334046) × R
    4.58900000000484e-05 × 6371000     		dr = 292.365190000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29759227-0.29764021) × cos(-0.29329457) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.95729658711815 × 6371000     		do = 292.383018520182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29759227-0.29764021) × cos(-0.29334046) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.957283318959241 × 6371000     		du = 292.378966082929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29329457)-sin(-0.29334046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95729658711815-0.957283318959241)×R²
    abs(0.29764021-0.29759227)×1.32681589087857e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.32681589087857e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.32681589087857e-05×40589641000000     		ar = 85482.0243817423m²