Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73664 / 73920
↖ ↑ ↗
← S 22.431340°
E 22.324219°		 ← 282.32 m → S 22.431340°
E 22.326966°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
S 22.433879°
E 22.324219°		 ← 282.31 m →
79 697 m²		 S 22.433879°
E 22.326966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562015533447266 y=0.563968658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562015533447266 × 217)
    floor (0.562015533447266 × 131072)
    floor (73664.5)     		tx = 73664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563968658447266 × 217)
    floor (0.563968658447266 × 131072)
    floor (73920.5)     		ty = 73920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73664 / 73920 ti = "17/73664/73920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73664/73920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73664 ÷ 217
    73664 ÷ 131072     		x = 0.56201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73920 ÷ 217
    73920 ÷ 131072     		y = 0.56396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56201171875 × 2 - 1) × π
    0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56396484375 × 2 - 1) × π
    -0.1279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.401902966414551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38963112} λ = 0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.401902966414551))-π/2
    2×atan(0.669045662440199)-π/2
    2×0.589647792721101-π/2
    1.1792955854422-1.57079632675     		φ = -0.39150074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39150074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.431340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73664 KachelY 73920 0.38963112 -0.39150074 22.324219 -22.431340
    Oben rechts KachelX + 1 73665 KachelY 73920 0.38967906 -0.39150074 22.326966 -22.431340
    Unten links KachelX 73664 KachelY + 1 73921 0.38963112 -0.39154505 22.324219 -22.433879
    Unten rechts KachelX + 1 73665 KachelY + 1 73921 0.38967906 -0.39154505 22.326966 -22.433879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39150074--0.39154505) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dl = 282.299009999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39150074--0.39154505) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dr = 282.299009999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38963112-0.38967906) × cos(-0.39150074) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.924337454559975 × 6371000     		do = 282.316451068838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38963112-0.38967906) × cos(-0.39154505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.924320546018481 × 6371000     		du = 282.31128676504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39150074)-sin(-0.39154505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924337454559975-0.924320546018481)×R²
    abs(0.38967906-0.38963112)×1.69085414938319e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.69085414938319e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.69085414938319e-05×40589641000000     		ar = 79696.9257175109m²