Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73712 / 73776
↖ ↑ ↗
← S 22.065278°
E 22.456055°		 ← 283.06 m → S 22.065278°
E 22.458801°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
S 22.067824°
E 22.456055°		 ← 283.05 m →
80 122 m²		 S 22.067824°
E 22.458801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562381744384766 y=0.562870025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562381744384766 × 217)
    floor (0.562381744384766 × 131072)
    floor (73712.5)     		tx = 73712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562870025634766 × 217)
    floor (0.562870025634766 × 131072)
    floor (73776.5)     		ty = 73776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73712 / 73776 ti = "17/73712/73776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73712/73776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73712 ÷ 217
    73712 ÷ 131072     		x = 0.5623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73776 ÷ 217
    73776 ÷ 131072     		y = 0.5628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5623779296875 × 2 - 1) × π
    0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.125732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.395000052869263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39193209} λ = 0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395000052869263))-π/2
    2×atan(0.673680003631902)-π/2
    2×0.592842287077377-π/2
    1.18568457415475-1.57079632675     		φ = -0.38511175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38511175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.065278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73712 KachelY 73776 0.39193209 -0.38511175 22.456055 -22.065278
    Oben rechts KachelX + 1 73713 KachelY 73776 0.39198003 -0.38511175 22.458801 -22.065278
    Unten links KachelX 73712 KachelY + 1 73777 0.39193209 -0.38515618 22.456055 -22.067824
    Unten rechts KachelX + 1 73713 KachelY + 1 73777 0.39198003 -0.38515618 22.458801 -22.067824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38511175--0.38515618) × R
    4.44300000000397e-05 × 6371000     		dl = 283.063530000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38511175--0.38515618) × R
    4.44300000000397e-05 × 6371000     		dr = 283.063530000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39193209-0.39198003) × cos(-0.38511175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926756458152782 × 6371000     		do = 283.055277030907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39193209-0.39198003) × cos(-0.38515618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926739766544123 × 6371000     		du = 283.05017898398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38511175)-sin(-0.38515618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926756458152782-0.926739766544123)×R²
    abs(0.39198003-0.39193209)×1.66916086590252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66916086590252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66916086590252e-05×40589641000000     		ar = 80121.9043791875m²