Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73720 / 73752
↖ ↑ ↗
← S 22.004175°
E 22.478028°		 ← 283.12 m → S 22.004175°
E 22.480774°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
S 22.006722°
E 22.478028°		 ← 283.11 m →
80 176 m²		 S 22.006722°
E 22.480774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562442779541016 y=0.562686920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562442779541016 × 217)
    floor (0.562442779541016 × 131072)
    floor (73720.5)     		tx = 73720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562686920166016 × 217)
    floor (0.562686920166016 × 131072)
    floor (73752.5)     		ty = 73752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73720 / 73752 ti = "17/73720/73752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73720/73752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73720 ÷ 217
    73720 ÷ 131072     		x = 0.56243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73752 ÷ 217
    73752 ÷ 131072     		y = 0.56268310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56243896484375 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.1253662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.393849567278381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39231559} λ = 0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393849567278381))-π/2
    2×atan(0.674455508787159)-π/2
    2×0.59337551217163-π/2
    1.18675102434326-1.57079632675     		φ = -0.38404530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38404530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.004175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73720 KachelY 73752 0.39231559 -0.38404530 22.478028 -22.004175
    Oben rechts KachelX + 1 73721 KachelY 73752 0.39236352 -0.38404530 22.480774 -22.004175
    Unten links KachelX 73720 KachelY + 1 73753 0.39231559 -0.38408975 22.478028 -22.006722
    Unten rechts KachelX + 1 73721 KachelY + 1 73753 0.39236352 -0.38408975 22.480774 -22.006722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38404530--0.38408975) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dl = 283.190950000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38404530--0.38408975) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dr = 283.190950000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39231559-0.39236352) × cos(-0.38404530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927156556560419 × 6371000     		do = 283.118408239273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39231559-0.39236352) × cos(-0.38408975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927139901378462 × 6371000     		du = 283.1133223791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38404530)-sin(-0.38408975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927156556560419-0.927139901378462)×R²
    abs(0.39236352-0.39231559)×1.66551819573701e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66551819573701e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66551819573701e-05×40589641000000     		ar = 80175.8508702629m²