Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73727 / 73729
↖ ↑ ↗
← S 21.945593°
E 22.497253°		 ← 283.29 m → S 21.945593°
E 22.500000°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
S 21.948141°
E 22.497253°		 ← 283.29 m →
80 244 m²		 S 21.948141°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562496185302734 y=0.562511444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562496185302734 × 217)
    floor (0.562496185302734 × 131072)
    floor (73727.5)     		tx = 73727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562511444091797 × 217)
    floor (0.562511444091797 × 131072)
    floor (73729.5)     		ty = 73729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73727 / 73729 ti = "17/73727/73729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73727/73729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73727 ÷ 217
    73727 ÷ 131072     		x = 0.562492370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73729 ÷ 217
    73729 ÷ 131072     		y = 0.562507629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562492370605469 × 2 - 1) × π
    0.124984741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.39265114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562507629394531 × 2 - 1) × π
    -0.125015258789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.39274701858712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39265114} λ = 0.39265114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39274701858712))-π/2
    2×atan(0.675199538915037)-π/2
    2×0.593886735291064-π/2
    1.18777347058213-1.57079632675     		φ = -0.38302286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39265114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.497253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38302286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.945593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73727 KachelY 73729 0.39265114 -0.38302286 22.497253 -21.945593
    Oben rechts KachelX + 1 73728 KachelY 73729 0.39269908 -0.38302286 22.500000 -21.945593
    Unten links KachelX 73727 KachelY + 1 73730 0.39265114 -0.38306732 22.497253 -21.948141
    Unten rechts KachelX + 1 73728 KachelY + 1 73730 0.39269908 -0.38306732 22.500000 -21.948141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38302286--0.38306732) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dl = 283.254659999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38302286--0.38306732) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dr = 283.254659999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39265114-0.39269908) × cos(-0.38302286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927539153715829 × 6371000     		do = 283.294332402445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39265114-0.39269908) × cos(-0.38306732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927522536941428 × 6371000     		du = 283.289257211827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38302286)-sin(-0.38306732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927539153715829-0.927522536941428)×R²
    abs(0.39269908-0.39265114)×1.66167744013457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66167744013457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66167744013457e-05×40589641000000     		ar = 80243.7210320091m²