Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73732 / 73740
↖ ↑ ↗
← S 21.973613°
E 22.510986°		 ← 283.24 m → S 21.973613°
E 22.513733°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
S 21.976161°
E 22.510986°		 ← 283.23 m →
80 228 m²		 S 21.976161°
E 22.513733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562534332275391 y=0.562595367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562534332275391 × 217)
    floor (0.562534332275391 × 131072)
    floor (73732.5)     		tx = 73732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562595367431641 × 217)
    floor (0.562595367431641 × 131072)
    floor (73740.5)     		ty = 73740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73732 / 73740 ti = "17/73732/73740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73732/73740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73732 ÷ 217
    73732 ÷ 131072     		x = 0.562530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73740 ÷ 217
    73740 ÷ 131072     		y = 0.562591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562530517578125 × 2 - 1) × π
    0.12506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39289083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562591552734375 × 2 - 1) × π
    -0.12518310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.393274324482941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39289083} λ = 0.39289083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393274324482941))-π/2
    2×atan(0.674843596070939)-π/2
    2×0.593642210963002-π/2
    1.187284421926-1.57079632675     		φ = -0.38351190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39289083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.510986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38351190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.973613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73732 KachelY 73740 0.39289083 -0.38351190 22.510986 -21.973613
    Oben rechts KachelX + 1 73733 KachelY 73740 0.39293877 -0.38351190 22.513733 -21.973613
    Unten links KachelX 73732 KachelY + 1 73741 0.39289083 -0.38355636 22.510986 -21.976161
    Unten rechts KachelX + 1 73733 KachelY + 1 73741 0.39293877 -0.38355636 22.513733 -21.976161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38351190--0.38355636) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dl = 283.254659999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38351190--0.38355636) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dr = 283.254659999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39289083-0.39293877) × cos(-0.38351190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927356275847997 × 6371000     		do = 283.238476794333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39289083-0.39293877) × cos(-0.38355636) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927339638908542 × 6371000     		du = 283.233395444788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38351190)-sin(-0.38355636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927356275847997-0.927339638908542)×R²
    abs(0.39293877-0.39289083)×1.66369394555277e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66369394555277e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66369394555277e-05×40589641000000     		ar = 80227.8987984572m²