Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73733 / 73731
↖ ↑ ↗
← S 21.950688°
E 22.513733°		 ← 283.23 m → S 21.950688°
E 22.516479°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
S 21.953235°
E 22.513733°		 ← 283.22 m →
80 224 m²		 S 21.953235°
E 22.516479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562541961669922 y=0.562526702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562541961669922 × 217)
    floor (0.562541961669922 × 131072)
    floor (73733.5)     		tx = 73733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562526702880859 × 217)
    floor (0.562526702880859 × 131072)
    floor (73731.5)     		ty = 73731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73733 / 73731 ti = "17/73733/73731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73733/73731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73733 ÷ 217
    73733 ÷ 131072     		x = 0.562538146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73731 ÷ 217
    73731 ÷ 131072     		y = 0.562522888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562538146972656 × 2 - 1) × π
    0.125076293945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.39293877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562522888183594 × 2 - 1) × π
    -0.125045776367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.39284289238636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39293877} λ = 0.39293877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39284289238636))-π/2
    2×atan(0.675134808073042)-π/2
    2×0.593842272736313-π/2
    1.18768454547263-1.57079632675     		φ = -0.38311178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39293877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.513733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38311178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.950688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73733 KachelY 73731 0.39293877 -0.38311178 22.513733 -21.950688
    Oben rechts KachelX + 1 73734 KachelY 73731 0.39298670 -0.38311178 22.516479 -21.950688
    Unten links KachelX 73733 KachelY + 1 73732 0.39293877 -0.38315624 22.513733 -21.953235
    Unten rechts KachelX + 1 73734 KachelY + 1 73732 0.39298670 -0.38315624 22.516479 -21.953235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38311178--0.38315624) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dl = 283.254659999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38311178--0.38315624) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dr = 283.254659999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39293877-0.39298670) × cos(-0.38311178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927505918333601 × 6371000     		do = 283.225090059536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39293877-0.39298670) × cos(-0.38315624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92748929789238 × 6371000     		du = 283.220014807865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38311178)-sin(-0.38315624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927505918333601-0.92748929789238)×R²
    abs(0.39298670-0.39293877)×1.66204412204163e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66204412204163e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66204412204163e-05×40589641000000     		ar = 80224.1078071684m²