Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73735 / 73735
↖ ↑ ↗
← S 21.960878°
E 22.519226°		 ← 283.26 m → S 21.960878°
E 22.521973°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
S 21.963425°
E 22.519226°		 ← 283.26 m →
80 235 m²		 S 21.963425°
E 22.521973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562557220458984 y=0.562557220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562557220458984 × 217)
    floor (0.562557220458984 × 131072)
    floor (73735.5)     		tx = 73735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562557220458984 × 217)
    floor (0.562557220458984 × 131072)
    floor (73735.5)     		ty = 73735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73735 / 73735 ti = "17/73735/73735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73735/73735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73735 ÷ 217
    73735 ÷ 131072     		x = 0.562553405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73735 ÷ 217
    73735 ÷ 131072     		y = 0.562553405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562553405761719 × 2 - 1) × π
    0.125106811523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.39303464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562553405761719 × 2 - 1) × π
    -0.125106811523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.39303463998484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39303464} λ = 0.39303464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39303463998484))-π/2
    2×atan(0.675005365005538)-π/2
    2×0.593753352407425-π/2
    1.18750670481485-1.57079632675     		φ = -0.38328962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39303464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.519226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38328962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.960878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73735 KachelY 73735 0.39303464 -0.38328962 22.519226 -21.960878
    Oben rechts KachelX + 1 73736 KachelY 73735 0.39308258 -0.38328962 22.521973 -21.960878
    Unten links KachelX 73735 KachelY + 1 73736 0.39303464 -0.38333408 22.519226 -21.963425
    Unten rechts KachelX + 1 73736 KachelY + 1 73736 0.39308258 -0.38333408 22.521973 -21.963425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38328962--0.38333408) × R
    4.44600000000239e-05 × 6371000     		dl = 283.254660000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38328962--0.38333408) × R
    4.44600000000239e-05 × 6371000     		dr = 283.254660000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39303464-0.39308258) × cos(-0.38328962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927439425568689 × 6371000     		do = 283.263872859634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39303464-0.39308258) × cos(-0.38333408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.927422797794224 × 6371000     		du = 283.258794309313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38328962)-sin(-0.38333408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927439425568689-0.927422797794224)×R²
    abs(0.39308258-0.39303464)×1.66277744645393e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66277744645393e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66277744645393e-05×40589641000000     		ar = 80235.0927488946m²