Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73857 / 73857
↖ ↑ ↗
← S 22.271306°
E 22.854309°		 ← 282.64 m → S 22.271306°
E 22.857056°		 →
↑
282.62 m
↓
↑
282.62 m
↓
S 22.273847°
E 22.854309°		 ← 282.64 m →
79 879 m²		 S 22.273847°
E 22.857056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563488006591797 y=0.563488006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563488006591797 × 217)
    floor (0.563488006591797 × 131072)
    floor (73857.5)     		tx = 73857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563488006591797 × 217)
    floor (0.563488006591797 × 131072)
    floor (73857.5)     		ty = 73857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73857 / 73857 ti = "17/73857/73857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73857/73857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73857 ÷ 217
    73857 ÷ 131072     		x = 0.563484191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73857 ÷ 217
    73857 ÷ 131072     		y = 0.563484191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563484191894531 × 2 - 1) × π
    0.126968383789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.39888294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563484191894531 × 2 - 1) × π
    -0.126968383789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.398882941738487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39888294} λ = 0.39888294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.398882941738487))-π/2
    2×atan(0.671069250955788)-π/2
    2×0.591044356390704-π/2
    1.18208871278141-1.57079632675     		φ = -0.38870761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39888294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.854309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38870761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.271306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73857 KachelY 73857 0.39888294 -0.38870761 22.854309 -22.271306
    Oben rechts KachelX + 1 73858 KachelY 73857 0.39893088 -0.38870761 22.857056 -22.271306
    Unten links KachelX 73857 KachelY + 1 73858 0.39888294 -0.38875197 22.854309 -22.273847
    Unten rechts KachelX + 1 73858 KachelY + 1 73858 0.39893088 -0.38875197 22.857056 -22.273847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38870761--0.38875197) × R
    4.4360000000021e-05 × 6371000     		dl = 282.617560000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38870761--0.38875197) × R
    4.4360000000021e-05 × 6371000     		dr = 282.617560000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39888294-0.39893088) × cos(-0.38870761) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925399639001648 × 6371000     		do = 282.640869537626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39888294-0.39893088) × cos(-0.38875197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925382825972549 × 6371000     		du = 282.635734405772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38870761)-sin(-0.38875197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925399639001648-0.925382825972549)×R²
    abs(0.39893088-0.39888294)×1.6813029099283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6813029099283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6813029099283e-05×40589641000000     		ar = 79878.5472789566m²