Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74751 / 74753
↖ ↑ ↗
← S 24.529634°
E 25.309753°		 ← 277.86 m → S 24.529634°
E 25.312500°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
S 24.532132°
E 25.309753°		 ← 277.85 m →
77 200 m²		 S 24.532132°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570308685302734 y=0.570323944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570308685302734 × 217)
    floor (0.570308685302734 × 131072)
    floor (74751.5)     		tx = 74751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570323944091797 × 217)
    floor (0.570323944091797 × 131072)
    floor (74753.5)     		ty = 74753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74751 / 74753 ti = "17/74751/74753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74751/74753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74751 ÷ 217
    74751 ÷ 131072     		x = 0.570304870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74753 ÷ 217
    74753 ÷ 131072     		y = 0.570320129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570304870605469 × 2 - 1) × π
    0.140609741210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.44173853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.570320129394531 × 2 - 1) × π
    -0.140640258789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.441834403798058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44173853} λ = 0.44173853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441834403798058))-π/2
    2×atan(0.642856081167222)-π/2
    2×0.571336728601407-π/2
    1.14267345720281-1.57079632675     		φ = -0.42812287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44173853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.309753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42812287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.529634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74751 KachelY 74753 0.44173853 -0.42812287 25.309753 -24.529634
    Oben rechts KachelX + 1 74752 KachelY 74753 0.44178647 -0.42812287 25.312500 -24.529634
    Unten links KachelX 74751 KachelY + 1 74754 0.44173853 -0.42816648 25.309753 -24.532132
    Unten rechts KachelX + 1 74752 KachelY + 1 74754 0.44178647 -0.42816648 25.312500 -24.532132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42812287--0.42816648) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dl = 277.839310000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42812287--0.42816648) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dr = 277.839310000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44173853-0.44178647) × cos(-0.42812287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909746668481568 × 6371000     		do = 277.860049433335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44173853-0.44178647) × cos(-0.42816648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909728562322199 × 6371000     		du = 277.854519346212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42812287)-sin(-0.42816648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909746668481568-0.909728562322199)×R²
    abs(0.44178647-0.44173853)×1.81061593690357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81061593690357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81061593690357e-05×40589641000000     		ar = 77199.6761855841m²