Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74753 / 74751
↖ ↑ ↗
← S 24.524636°
E 25.315246°		 ← 277.87 m → S 24.524636°
E 25.317993°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
S 24.527135°
E 25.315246°		 ← 277.87 m →
77 203 m²		 S 24.527135°
E 25.317993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570323944091797 y=0.570308685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570323944091797 × 217)
    floor (0.570323944091797 × 131072)
    floor (74753.5)     		tx = 74753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570308685302734 × 217)
    floor (0.570308685302734 × 131072)
    floor (74751.5)     		ty = 74751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74753 / 74751 ti = "17/74753/74751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74753/74751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74753 ÷ 217
    74753 ÷ 131072     		x = 0.570320129394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74751 ÷ 217
    74751 ÷ 131072     		y = 0.570304870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570320129394531 × 2 - 1) × π
    0.140640258789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.44183440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.570304870605469 × 2 - 1) × π
    -0.140609741210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.441738529998817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44183440} λ = 0.44183440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441738529998817))-π/2
    2×atan(0.64291771717668)-π/2
    2×0.571380339904018-π/2
    1.14276067980804-1.57079632675     		φ = -0.42803565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44183440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.315246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42803565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.524636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74753 KachelY 74751 0.44183440 -0.42803565 25.315246 -24.524636
    Oben rechts KachelX + 1 74754 KachelY 74751 0.44188234 -0.42803565 25.317993 -24.524636
    Unten links KachelX 74753 KachelY + 1 74752 0.44183440 -0.42807926 25.315246 -24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 74754 KachelY + 1 74752 0.44188234 -0.42807926 25.317993 -24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42803565--0.42807926) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dl = 277.839310000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42803565--0.42807926) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dr = 277.839310000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44183440-0.44188234) × cos(-0.42803565) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909782875609715 × 6371000     		do = 277.871108022243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44183440-0.44188234) × cos(-0.42807926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 277.865578992016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42803565)-sin(-0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909782875609715-0.909764772910752)×R²
    abs(0.44188234-0.44183440)×1.81026989637401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81026989637401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81026989637401e-05×40589641000000     		ar = 77202.7488431349m²