Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74816 / 74816
↖ ↑ ↗
← S 24.686952°
E 25.488281°		 ← 277.51 m → S 24.686952°
E 25.491028°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
S 24.689448°
E 25.488281°		 ← 277.51 m →
77 014 m²		 S 24.689448°
E 25.491028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570804595947266 y=0.570804595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570804595947266 × 217)
    floor (0.570804595947266 × 131072)
    floor (74816.5)     		tx = 74816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570804595947266 × 217)
    floor (0.570804595947266 × 131072)
    floor (74816.5)     		ty = 74816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74816 / 74816 ti = "17/74816/74816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74816/74816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74816 ÷ 217
    74816 ÷ 131072     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74816 ÷ 217
    74816 ÷ 131072     		y = 0.57080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    -0.1416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.444854428474121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.444854428474121))-π/2
    2×atan(0.640917568590206)-π/2
    2×0.569963862466954-π/2
    1.13992772493391-1.57079632675     		φ = -0.43086860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43086860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.686952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74816 KachelY 74816 0.44485443 -0.43086860 25.488281 -24.686952
    Oben rechts KachelX + 1 74817 KachelY 74816 0.44490237 -0.43086860 25.491028 -24.686952
    Unten links KachelX 74816 KachelY + 1 74817 0.44485443 -0.43091216 25.488281 -24.689448
    Unten rechts KachelX + 1 74817 KachelY + 1 74817 0.44490237 -0.43091216 25.491028 -24.689448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43086860--0.43091216) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43086860--0.43091216) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44490237) × cos(-0.43086860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90860331284959 × 6371000     		do = 277.510839193355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44490237) × cos(-0.43091216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908585118710446 × 6371000     		du = 277.505282234944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43086860)-sin(-0.43091216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90860331284959-0.908585118710446)×R²
    abs(0.44490237-0.44485443)×1.81941391435014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81941391435014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81941391435014e-05×40589641000000     		ar = 77014.2479276474m²