Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75778 / 75778
↖ ↑ ↗
← S 27.064017°
E 28.130493°		 ← 271.92 m → S 27.064017°
E 28.133240°		 →
↑
271.98 m
↓
↑
271.98 m
↓
S 27.066463°
E 28.130493°		 ← 271.92 m →
73 957 m²		 S 27.066463°
E 28.133240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578144073486328 y=0.578144073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578144073486328 × 217)
    floor (0.578144073486328 × 131072)
    floor (75778.5)     		tx = 75778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578144073486328 × 217)
    floor (0.578144073486328 × 131072)
    floor (75778.5)     		ty = 75778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75778 / 75778 ti = "17/75778/75778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75778/75778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75778 ÷ 217
    75778 ÷ 131072     		x = 0.578140258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75778 ÷ 217
    75778 ÷ 131072     		y = 0.578140258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578140258789062 × 2 - 1) × π
    0.156280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.49096973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578140258789062 × 2 - 1) × π
    -0.156280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.490969725908615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49096973} λ = 0.49096973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490969725908615))-π/2
    2×atan(0.61203260245182)-π/2
    2×0.549220055900777-π/2
    1.09844011180155-1.57079632675     		φ = -0.47235621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49096973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.130493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47235621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.064017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75778 KachelY 75778 0.49096973 -0.47235621 28.130493 -27.064017
    Oben rechts KachelX + 1 75779 KachelY 75778 0.49101766 -0.47235621 28.133240 -27.064017
    Unten links KachelX 75778 KachelY + 1 75779 0.49096973 -0.47239890 28.130493 -27.066463
    Unten rechts KachelX + 1 75779 KachelY + 1 75779 0.49101766 -0.47239890 28.133240 -27.066463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47235621--0.47239890) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dl = 271.977990000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47235621--0.47239890) × R
    4.26900000000119e-05 × 6371000     		dr = 271.977990000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49096973-0.49101766) × cos(-0.47235621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.890498719118142 × 6371000     		do = 271.924496582482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49096973-0.49101766) × cos(-0.47239890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.89047929496511 × 6371000     		du = 271.918565183681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47235621)-sin(-0.47239890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890498719118142-0.89047929496511)×R²
    abs(0.49101766-0.49096973)×1.94241530319106e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94241530319106e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94241530319106e-05×40589641000000     		ar = 73956.6714186264m²