Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75792 / 75792
↖ ↑ ↗
← S 27.098254°
E 28.168945°		 ← 271.90 m → S 27.098254°
E 28.171692°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
S 27.100699°
E 28.168945°		 ← 271.89 m →
73 932 m²		 S 27.100699°
E 28.171692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578250885009766 y=0.578250885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578250885009766 × 217)
    floor (0.578250885009766 × 131072)
    floor (75792.5)     		tx = 75792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578250885009766 × 217)
    floor (0.578250885009766 × 131072)
    floor (75792.5)     		ty = 75792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75792 / 75792 ti = "17/75792/75792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75792/75792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75792 ÷ 217
    75792 ÷ 131072     		x = 0.5782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75792 ÷ 217
    75792 ÷ 131072     		y = 0.5782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5782470703125 × 2 - 1) × π
    0.156494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49164084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.156494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.491640842503296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49164084} λ = 0.49164084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.491640842503296))-π/2
    2×atan(0.611621995013973)-π/2
    2×0.548921287301943-π/2
    1.09784257460389-1.57079632675     		φ = -0.47295375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49164084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.168945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47295375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.098254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75792 KachelY 75792 0.49164084 -0.47295375 28.168945 -27.098254
    Oben rechts KachelX + 1 75793 KachelY 75792 0.49168878 -0.47295375 28.171692 -27.098254
    Unten links KachelX 75792 KachelY + 1 75793 0.49164084 -0.47299643 28.168945 -27.100699
    Unten rechts KachelX + 1 75793 KachelY + 1 75793 0.49168878 -0.47299643 28.171692 -27.100699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47295375--0.47299643) × R
    4.26800000000171e-05 × 6371000     		dl = 271.914280000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47295375--0.47299643) × R
    4.26800000000171e-05 × 6371000     		dr = 271.914280000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49164084-0.49168878) × cos(-0.47295375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890226687972137 × 6371000     		do = 271.898144941461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49164084-0.49168878) × cos(-0.47299643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890207245662664 × 6371000     		du = 271.892206759703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47295375)-sin(-0.47299643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890226687972137-0.890207245662664)×R²
    abs(0.49168878-0.49164084)×1.9442309473594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9442309473594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9442309473594e-05×40589641000000     		ar = 73932.1809880703m²