Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 76 / 60
↖ ↑ ↗
← N 11.178402°
E 33.750000°		 ← 306.803 km → N 11.178402°
E 36.562500°		 →
↑
308.147 km
↓
↑
308.147 km
↓
N  8.407168°
E 33.750000°		 ← 309.375 km →
94 955.2 km²		 N  8.407168°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59765625 y=0.47265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59765625 × 27)
    floor (0.59765625 × 128)
    floor (76.5)     		tx = 76
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47265625 × 27)
    floor (0.47265625 × 128)
    floor (60.5)     		ty = 60
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 76 / 60 ti = "7/76/60"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/76/60.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76 ÷ 27
    76 ÷ 128     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60 ÷ 27
    60 ÷ 128     		y = 0.46875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46875 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Φ = 0.19634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19634954084375))-π/2
    2×atan(1.21695220550081)-π/2
    2×0.882948122298382-π/2
    1.76589624459676-1.57079632675     		φ = 0.19509992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19509992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.178402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76 KachelY 60 0.58904862 0.19509992 33.750000 11.178402
    Oben rechts KachelX + 1 77 KachelY 60 0.63813601 0.19509992 36.562500 11.178402
    Unten links KachelX 76 KachelY + 1 61 0.58904862 0.14673277 33.750000 8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 77 KachelY + 1 61 0.63813601 0.14673277 36.562500 8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19509992-0.14673277) × R
    0.04836715 × 6371000     		dl = 308147.11265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19509992-0.14673277) × R
    0.04836715 × 6371000     		dr = 308147.11265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.63813601) × cos(0.19509992) × R
    0.04908739 × 0.981028303500043 × 6371000     		do = 306802.633734534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.63813601) × cos(0.14673277) × R
    0.04908739 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 309375.118318438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19509992)-sin(0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981028303500043-0.989254048358907)×R²
    abs(0.63813601-0.58904862)×0.00822574485886385×R²
    0.04908739×0.00822574485886385×6371000²
    0.04908739×0.00822574485886385×40589641000000     		ar = 94955209678.2949m²