Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76032 / 76032
↖ ↑ ↗
← S 27.683528°
E 28.828125°		 ← 270.46 m → S 27.683528°
E 28.830872°		 →
↑
270.45 m
↓
↑
270.45 m
↓
S 27.685960°
E 28.828125°		 ← 270.46 m →
73 146 m²		 S 27.685960°
E 28.830872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580081939697266 y=0.580081939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580081939697266 × 217)
    floor (0.580081939697266 × 131072)
    floor (76032.5)     		tx = 76032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580081939697266 × 217)
    floor (0.580081939697266 × 131072)
    floor (76032.5)     		ty = 76032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76032 / 76032 ti = "17/76032/76032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76032/76032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76032 ÷ 217
    76032 ÷ 131072     		x = 0.580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76032 ÷ 217
    76032 ÷ 131072     		y = 0.580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580078125 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50314570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580078125 × 2 - 1) × π
    -0.16015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.503145698412109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50314570} λ = 0.50314570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.503145698412109))-π/2
    2×atan(0.604625694972627)-π/2
    2×0.543813806588609-π/2
    1.08762761317722-1.57079632675     		φ = -0.48316871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50314570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48316871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.683528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76032 KachelY 76032 0.50314570 -0.48316871 28.828125 -27.683528
    Oben rechts KachelX + 1 76033 KachelY 76032 0.50319364 -0.48316871 28.830872 -27.683528
    Unten links KachelX 76032 KachelY + 1 76033 0.50314570 -0.48321116 28.828125 -27.685960
    Unten rechts KachelX + 1 76033 KachelY + 1 76033 0.50319364 -0.48321116 28.830872 -27.685960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48316871--0.48321116) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dl = 270.44894999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48316871--0.48321116) × R
    4.24499999999717e-05 × 6371000     		dr = 270.44894999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50314570-0.50319364) × cos(-0.48316871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885527227905161 × 6371000     		do = 270.462808872905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50314570-0.50319364) × cos(-0.48321116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885507505368686 × 6371000     		du = 270.456785102607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48316871)-sin(-0.48321116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885527227905161-0.885507505368686)×R²
    abs(0.50319364-0.50314570)×1.97225364756415e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97225364756415e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97225364756415e-05×40589641000000     		ar = 73145.5681234332m²