Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 767 / 769
↖ ↑ ↗
← S 66.652977°
E 89.648437°		 ← 15.492 km → S 66.652977°
E 90.000000°		 →
↑
15.449 km
↓
↑
15.449 km
↓
S 66.791909°
E 89.648437°		 ← 15.405 km →
238.658 km²		 S 66.791909°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74951171875 y=0.75146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74951171875 × 210)
    floor (0.74951171875 × 1024)
    floor (767.5)     		tx = 767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.75146484375 × 210)
    floor (0.75146484375 × 1024)
    floor (769.5)     		ty = 769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 767 / 769 ti = "10/767/769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/767/769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 767 ÷ 210
    767 ÷ 1024     		x = 0.7490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 769 ÷ 210
    769 ÷ 1024     		y = 0.7509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    0.498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56466040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7509765625 × 2 - 1) × π
    -0.501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57693224990137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56466040} λ = 1.56466040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57693224990137))-π/2
    2×atan(0.206607948549754)-π/2
    2×0.203741207457871-π/2
    0.407482414915741-1.57079632675     		φ = -1.16331391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56466040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16331391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.652977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 767 KachelY 769 1.56466040 -1.16331391 89.648437 -66.652977
    Oben rechts KachelX + 1 768 KachelY 769 1.57079633 -1.16331391 90.000000 -66.652977
    Unten links KachelX 767 KachelY + 1 770 1.56466040 -1.16573873 89.648437 -66.791909
    Unten rechts KachelX + 1 768 KachelY + 1 770 1.57079633 -1.16573873 90.000000 -66.791909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16331391--1.16573873) × R
    0.00242481999999988 × 6371000     		dl = 15448.5282199993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16331391--1.16573873) × R
    0.00242481999999988 × 6371000     		dr = 15448.5282199993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56466040-1.57079633) × cos(-1.16331391) × R
    0.00613593000000012 × 0.396299139205757 × 6371000     		do = 15492.1299247121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56466040-1.57079633) × cos(-1.16573873) × R
    0.00613593000000012 × 0.394071697069453 × 6371000     		du = 15405.0547343785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16331391)-sin(-1.16573873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396299139205757-0.394071697069453)×R²
    abs(1.57079633-1.56466040)×0.00222744213630449×R²
    0.00613593000000012×0.00222744213630449×6371000²
    0.00613593000000012×0.00222744213630449×40589641000000     		ar = 238658131.499831m²