Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7681 / 7679
↖ ↑ ↗
← N 11.199957°
W 11.228028°		 ← 2 396.75 m → N 11.199957°
W 11.206055°		 →
↑
2 396.77 m
↓
↑
2 396.77 m
↓
N 11.178402°
W 11.228028°		 ← 2 396.93 m →
5 744 666 m²		 N 11.178402°
W 11.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468841552734375 y=0.468719482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468841552734375 × 214)
    floor (0.468841552734375 × 16384)
    floor (7681.5)     		tx = 7681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468719482421875 × 214)
    floor (0.468719482421875 × 16384)
    floor (7679.5)     		ty = 7679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7681 / 7679 ti = "14/7681/7679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7681/7679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7681 ÷ 214
    7681 ÷ 16384     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7679 ÷ 214
    7679 ÷ 16384     		y = 0.46868896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46868896484375 × 2 - 1) × π
    0.0626220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.19673303604071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.19673303604071))-π/2
    2×atan(1.2174189903257)-π/2
    2×0.883136225122819-π/2
    1.76627245024564-1.57079632675     		φ = 0.19547612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19547612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.199957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7681 KachelY 7679 -0.19596605 0.19547612 -11.228028 11.199957
    Oben rechts KachelX + 1 7682 KachelY 7679 -0.19558255 0.19547612 -11.206055 11.199957
    Unten links KachelX 7681 KachelY + 1 7680 -0.19596605 0.19509992 -11.228028 11.178402
    Unten rechts KachelX + 1 7682 KachelY + 1 7680 -0.19558255 0.19509992 -11.206055 11.178402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19547612-0.19509992) × R
    0.000376199999999993 × 6371000     		dl = 2396.77019999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19547612-0.19509992) × R
    0.000376199999999993 × 6371000     		dr = 2396.77019999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19558255) × cos(0.19547612) × R
    0.000383500000000009 × 0.980955302233466 × 6371000     		do = 2396.74699940808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19558255) × cos(0.19509992) × R
    0.000383500000000009 × 0.981028303500043 × 6371000     		du = 2396.92536183318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19547612)-sin(0.19509992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980955302233466-0.981028303500043)×R²
    abs(-0.19558255--0.19596605)×7.30012665771662e-05×R²
    0.000383500000000009×7.30012665771662e-05×6371000²
    0.000383500000000009×7.30012665771662e-05×40589641000000     		ar = 5744665.59974522m²