Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7681 / 8705
↖ ↑ ↗
← S 11.199957°
W 11.228028°		 ← 2 396.75 m → S 11.199957°
W 11.206055°		 →
↑
2 396.64 m
↓
↑
2 396.64 m
↓
S 11.221510°
W 11.228028°		 ← 2 396.57 m →
5 743 932 m²		 S 11.221510°
W 11.206055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468841552734375 y=0.531341552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468841552734375 × 214)
    floor (0.468841552734375 × 16384)
    floor (7681.5)     		tx = 7681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531341552734375 × 214)
    floor (0.531341552734375 × 16384)
    floor (8705.5)     		ty = 8705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7681 / 8705 ti = "14/7681/8705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7681/8705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7681 ÷ 214
    7681 ÷ 16384     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8705 ÷ 214
    8705 ÷ 16384     		y = 0.53131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53131103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.19673303604071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.19673303604071))-π/2
    2×atan(0.821409890881091)-π/2
    2×0.687660101672077-π/2
    1.37532020334415-1.57079632675     		φ = -0.19547612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19547612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.199957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7681 KachelY 8705 -0.19596605 -0.19547612 -11.228028 -11.199957
    Oben rechts KachelX + 1 7682 KachelY 8705 -0.19558255 -0.19547612 -11.206055 -11.199957
    Unten links KachelX 7681 KachelY + 1 8706 -0.19596605 -0.19585230 -11.228028 -11.221510
    Unten rechts KachelX + 1 7682 KachelY + 1 8706 -0.19558255 -0.19585230 -11.206055 -11.221510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19547612--0.19585230) × R
    0.000376180000000004 × 6371000     		dl = 2396.64278000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19547612--0.19585230) × R
    0.000376180000000004 × 6371000     		dr = 2396.64278000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19558255) × cos(-0.19547612) × R
    0.000383500000000009 × 0.980955302233466 × 6371000     		do = 2396.74699940808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19558255) × cos(-0.19585230) × R
    0.000383500000000009 × 0.980882166027831 × 6371000     		du = 2396.56830728928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19547612)-sin(-0.19585230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980955302233466-0.980882166027831)×R²
    abs(-0.19558255--0.19596605)×7.31362056348717e-05×R²
    0.000383500000000009×7.31362056348717e-05×6371000²
    0.000383500000000009×7.31362056348717e-05×40589641000000     		ar = 5743932.32876608m²